ГДЗ по алгебре 10 класс Шабунин дидактические материалы (Алимов) Базовый и углубленный уровень глава 4 / задание для интересующихся математикой - 5

1) Решим уравнение: $$ x(1 - \lg 5) = \lg(4^x - 12) $$ Область допустимых значений (ОДЗ): $$ 4^x - 12 > 0 \iff 4^x > 12 $$ Преобразуем левую часть уравнения, используя свойство десятичного логарифма $1 = \lg 10$: $$ 1 - \lg 5 = \lg 10 - \lg 5 = \lg\left(\frac{10}{5}\right) = \lg 2 $$ Тогда уравнение принимает вид: $$ x \lg 2 = \lg(4^x - 12) $$ $$ \lg(2^x) = \lg(4^x - 12) $$ Потенцируя обе части уравнения, получаем: $$ 2^x = 4^x - 12 $$ Так как $4^x = (2^x)^2$, введем замену переменной $y = 2^x$, где $y > 0$: $$ y^2 - y - 12 = 0 $$ По теореме Виета: $$ y_1 = 4, \quad y_2 = -3 $$ Корень $y_2 = -3$ не удовлетворяет условию $y > 0$. Возвращаемся к замене: $$ 2^x = 4 \iff 2^x = 2^2 \iff x = 2 $$ Проверим ОДЗ: $4^2 - 12 = 16 - 12 = 4 > 0$ — верно. Ответ: $x = 2$. --- 2) Решим уравнение: $$ 3\log_{3x} x = 2\log_{9x} x^2 $$ Найдем ОДЗ: $$ \begin{cases} x > 0 \\ 3x \neq 1 \\ 9x \neq 1 \end{cases} \iff \begin{cases} x > 0 \\ x \neq \frac{1}{3} \\ x \neq \frac{1}{9} \end{cases} $$ Поскольку $x > 0$, преобразуем правую часть уравнения по свойству степени логарифма: $$ 2\log_{9x} x^2 = 2 \cdot 2\log_{9x} x = 4\log_{9x} x $$ Уравнение принимает вид: $$ 3\log_{3x} x = 4\log_{9x} x $$ Перейдем к логарифмам по основанию 3: $$ \log_{3x} x = \frac{\log_3 x}{\log_3(3x)} = \frac{\log_3 x}{1 + \log_3 x} $$ $$ \log_{9x} x = \frac{\log_3 x}{\log_3(9x)} = \frac{\log_3 x}{2 + \log_3 x} $$ Подставим полученные выражения в уравнение: $$ \frac{3\log_3 x}{1 + \log_3 x} = \frac{4\log_3 x}{2 + \log_3 x} $$ $$ \log_3 x \left(\frac{3}{1 + \log_3 x} - \frac{4}{2 + \log_3 x}\right) = 0 $$ Отсюда возможны два случая: 1. $\log_3 x = 0 \iff x = 3^0 = 1$. Значение $x = 1$ входит в ОДЗ. 2. $\frac{3}{1 + \log_3 x} = \frac{4}{2 + \log_3 x}$ $$ 3(2 + \log_3 x) = 4(1 + \log_3 x) $$ $$ 6 + 3\log_3 x = 4 + 4\log_3 x $$ $$ \log_3 x = 2 \iff x = 3^2 = 9 $$ Значение $x = 9$ входит в ОДЗ. Ответ: $x_1 = 1$, $x_2 = 9$. --- 3) Решим уравнение: $$ (1 + \log_5 3)\log_{15} x = \log_5 28 + \log_{0,2}(x - 3) $$ Найдем ОДЗ: $$ \begin{cases} x > 0 \\ x - 3 > 0 \end{cases} \iff x > 3 $$ Преобразуем множитель в левой части: $$ 1 + \log_5 3 = \log_5 5 + \log_5 3 = \log_5(5 \cdot 3) = \log_5 15 $$ Тогда левая часть уравнения равна: $$ \log_5 15 \cdot \log_{15} x = \log_5 x $$ Преобразуем второе слагаемое в правой части, учитывая, что $0,2 = \frac{1}{5} = 5^{-1}$: $$ \log_{0,2}(x - 3) = \log_{5^{-1}}(x - 3) = -\log_5(x - 3) $$ Уравнение принимает вид: $$ \log_5 x = \log_5 28 - \log_5(x - 3) $$ $$ \log_5 x + \log_5(x - 3) = \log_5 28 $$ $$ \log_5(x(x - 3)) = \log_5 28 $$ Потенцируя, получаем: $$ x(x - 3) = 28 $$ $$ x^2 - 3x - 28 = 0 $$ По теореме Виета: $$ x_1 = 7, \quad x_2 = -4 $$ Корень $x_2 = -4$ не удовлетворяет условию $x > 3$. Корень $x_1 = 7$ входит в ОДЗ. Ответ: $x = 7$. --- 4) Решим уравнение: $$ \log_3 3x + \log_3(4x + 1) = \log_{4x^2 + x} 9 $$ Найдем ОДЗ: $$ \begin{cases} 3x > 0 \\ 4x + 1 > 0 \\ 4x^2 + x > 0 \\ 4x^2 + x \neq 1 \end{cases} \iff \begin{cases} x > 0 \\ 4x^2 + x - 1 \neq 0 \end{cases} $$ Преобразуем левую часть уравнения, используя свойство суммы логарифмов: $$ \log_3 3x + \log_3(4x + 1) = \log_3(3x(4x + 1)) = \log_3(3(4x^2 + x)) = \log_3 3 + \log_3(4x^2 + x) = 1 + \log_3(4x^2 + x) $$ Преобразуем правую часть уравнения: $$ \log_{4x^2 + x} 9 = \log_{4x^2 + x}(3^2) = 2\log_{4x^2 + x} 3 = \frac{2}{\log_3(4x^2 + x)} $$ Введем замену $t = \log_3(4x^2 + x)$, где $t \neq 0$: $$ 1 + t = \frac{2}{t} $$ $$ t^2 + t - 2 = 0 $$ По теореме Виета: $$ t_1 = 1, \quad t_2 = -2 $$ Рассмотрим оба случая: 1. $t = 1$: $$ \log_3(4x^2 + x) = 1 $$ $$ 4x^2 + x = 3 $$ $$ 4x^2 + x - 3 = 0 $$ $$ D = 1 - 4 \cdot 4 \cdot (-3) = 1 + 48 = 49 = 7^2 $$ $$ x = \frac{-1 \pm 7}{8} \implies x_1 = \frac{3}{4}, \quad x = -1 $$ Корень $x = -1$ не входит в ОДЗ ($x > 0$). Значение $x_1 = \frac{3}{4}$ входит в ОДЗ. 2. $t = -2$: $$ \log_3(4x^2 + x) = -2 $$ $$ 4x^2 + x = 3^{-2} $$ $$ 4x^2 + x = \frac{1}{9} $$ $$ 36x^2 + 9x - 1 = 0 $$ $$ D = 81 - 4 \cdot 36 \cdot (-1) = 81 + 144 = 225 = 15^2 $$ $$ x = \frac{-9 \pm 15}{72} \implies x_2 = \frac{6}{72} = \frac{1}{12}, \quad x = -\frac{24}{72} = -\frac{1}{3} $$ Корень $x = -\frac{1}{3}$ не входит в ОДЗ ($x > 0$). Значение $x_2 = \frac{1}{12}$ входит в ОДЗ. Ответ: $x_1 = \frac{1}{12}$, $x_2 = \frac{3}{4}$. --- 5) Решим уравнение: $$ \lg^2(4 - x) + \lg(4 - x)\lg\left(x + \frac{1}{2}\right) = 2\lg^2\left(x + \frac{1}{2}\right) $$ Найдем ОДЗ: $$ \begin{cases} 4 - x > 0 \\ x + \frac{1}{2} > 0 \end{cases} \iff \begin{cases} x < 4 \\ x > -\frac{1}{2} \end{cases} \iff x \in \left(-\frac{1}{2}; 4\right) $$ Пусть $u = \lg(4 - x)$, $v = \lg\left(x + \frac{1}{2}\right)$. Уравнение принимает вид: $$ u^2 + uv - 2v^2 = 0 $$ Разложим левую часть на множители: $$ u^2 - uv + 2uv - 2v^2 = 0 $$ $$ u(u - v) + 2v(u - v) = 0 $$ $$ (u - v)(u + 2v) = 0 $$ Получаем совокупность уравнений: 1. $u - v = 0 \iff u = v$: $$ \lg(4 - x) = \lg\left(x + \frac{1}{2}\right) $$ $$ 4 - x = x + \frac{1}{2} $$ $$ 2x = \frac{7}{2} \iff x = \frac{7}{4} $$ Значение $x = \frac{7}{4} = 1,75$ принадлежит интервалу $\left(-\frac{1}{2}; 4\right)$. 2. $u + 2v = 0 \iff u = -2v$: $$ \lg(4 - x) = -2\lg\left(x + \frac{1}{2}\right) $$ $$ \lg(4 - x) = \lg\left(\left(x + \frac{1}{2}\right)^{-2}\right) $$ $$ 4 - x = \frac{1}{\left(x + \frac{1}{2}\right)^2} $$ $$ (4 - x)\left(x^2 + x + \frac{1}{4}\right) = 1 $$ Умножим обе части на 4: $$ (4 - x)(4x^2 + 4x + 1) = 4 $$ $$ 16x^2 + 16x + 4 - 4x^3 - 4x^2 - x = 4 $$ $$ -4x^3 + 12x^2 + 15x = 0 $$ $$ x(-4x^2 + 12x + 15) = 0 $$ Отсюда: * $x = 0$ — принадлежит интервалу $\left(-\frac{1}{2}; 4\right)$. * $4x^2 - 12x - 15 = 0$: $$ \frac{D}{4} = (-6)^2 - 4 \cdot (-15) = 36 + 60 = 96 $$ $$ x = \frac{6 \pm \sqrt{96}}{4} = \frac{6 \pm 4\sqrt{6}}{4} = \frac{3}{2} \pm \sqrt{6} $$ Проверим корни по ОДзу ($-\frac{1}{2} < x < 4$): * Так как $2,4 < \sqrt{6} < 2,5$, то: $$ \frac{3}{2} + \sqrt{6} \approx 1,5 + 2,45 = 3,95 \in \left(-\frac{1}{2}; 4\right) $$ * Для второго корня: $$ \frac{3}{2} - \sqrt{6} \approx 1,5 - 2,45 = -0,95 \notin \left(-\frac{1}{2}; 4\right) $$ Следовательно, корень $x = \frac{3}{2} - \sqrt{6}$ — посторонний. Ответ: $x_1 = 0$, $x_2 = \frac{7}{4}$, $x_3 = \frac{3}{2} + \sqrt{6}$.