ГДЗ по алгебре 10 класс Шабунин дидактические материалы (Алимов) Базовый и углубленный уровень глава 4 / задание для интересующихся математикой - 1

Для нахождения значения $\log_{275} 720$ выразим его через логарифмы по основанию $5$. 1. Разложим подлогарифмические числа $720$ и $275$ на множители, содержащие числа $5$, $12$ и $11$: $$ 720 = 144 \cdot 5 = 12^2 \cdot 5 $$ $$ 275 = 25 \cdot 11 = 5^2 \cdot 11 $$ 2. По условию дано: $\log_5 12 = a$ и $\log_{12} 11 = b$. Используя формулу перехода к новому основанию $\log_c b = \frac{\log_a b}{\log_a c}$, выразим $\log_5 11$: $$ \log_5 11 = \log_5 12 \cdot \log_{12} 11 = a \cdot b $$ 3. Применим формулу перехода к основанию $5$ для искомого логарифма: $$ \log_{275} 720 = \frac{\log_5 720}{\log_5 275} $$ 4. Преобразуем числитель и знаменатель дроби, используя свойства логарифма произведения и степени: $$ \log_5 720 = \log_5 (12^2 \cdot 5) = \log_5 (12^2) + \log_5 5 = 2\log_5 12 + 1 = 2a + 1 $$ $$ \log_5 275 = \log_5 (5^2 \cdot 11) = \log_5 (5^2) + \log_5 11 = 2 + \log_5 11 = 2 + ab $$ 5. Подставим полученные выражения: $$ \log_{275} 720 = \frac{2a + 1}{2 + ab} $$ Ответ: $\frac{2a + 1}{2 + ab}$.