ГДЗ по алгебре 10 класс Шабунин дидактические материалы (Алимов) Базовый и углубленный уровень глава 4 / задание для интересующихся математикой - 2

1) Преобразуем данное выражение: $$ A = (\log_6 9)^2 + \frac{\log_6 324}{\log_4 6} $$ Используя формулу перехода к новому основанию $\frac{1}{\log_b a} = \log_a b$, перепишем дробь в виде произведения: $$ \frac{\log_6 324}{\log_4 6} = \log_6 324 \cdot \log_6 4 $$ Представим аргументы логарифмов через степени и произведения чисел $6$ и $9$: * $324 = 36 \cdot 9 = 6^2 \cdot 9$, следовательно: $$ \log_6 324 = \log_6 (6^2 \cdot 9) = \log_6 (6^2) + \log_6 9 = 2 + \log_6 9 $$ * $4 = \frac{36}{9} = \frac{6^2}{9}$, следовательно: $$ \log_6 4 = \log_6 \left(\frac{6^2}{9}\right) = \log_6 (6^2) - \log_6 9 = 2 - \log_6 9 $$ Подставим полученные выражения в исходное равенство: $$ A = (\log_6 9)^2 + (2 + \log_6 9)(2 - \log_6 9) $$ Применим формулу разности квадратов $(2 + \log_6 9)(2 - \log_6 9) = 4 - (\log_6 9)^2$: $$ A = (\log_6 9)^2 + 4 - (\log_6 9)^2 = 4 $$ 2) Вычислим значение выражения по действиям: $$ A = 5^{\log_{\frac{1}{5}}\left(\frac{1}{2}\right)} + \log_{\sqrt{2}} \frac{4}{\sqrt{3} + \sqrt{7}} + \log_{\frac{1}{2}} \frac{1}{2\sqrt{21} + 10} $$ 1. Упростим первое слагаемое: $$ \log_{\frac{1}{5}}\left(\frac{1}{2}\right) = \log_{5^{-1}} (2^{-1}) = \frac{-1}{-1} \log_5 2 = \log_5 2 $$ По основному логарифмическому тождеству: $$ 5^{\log_{\frac{1}{5}}\left(\frac{1}{2}\right)} = 5^{\log_5 2} = 2 $$ 2. Преобразуем второе слагаемое. Избавимся от иррациональности в знаменателе дроби, умножив числитель и знаменатель на $(\sqrt{7} - \sqrt{3})$: $$ \frac{4}{\sqrt{7} + \sqrt{3}} = \frac{4(\sqrt{7} - \sqrt{3})}{(\sqrt{7} + \sqrt{3})(\sqrt{7} - \sqrt{3})} = \frac{4(\sqrt{7} - \sqrt{3})}{7 - 3} = \sqrt{7} - \sqrt{3} $$ Так как основание логарифма $\sqrt{2} = 2^{\frac{1}{2}}$, получаем: $$ \log_{\sqrt{2}} (\sqrt{7} - \sqrt{3}) = \log_{2^{\frac{1}{2}}} (\sqrt{7} - \sqrt{3}) = 2\log_2 (\sqrt{7} - \sqrt{3}) = \log_2 (\sqrt{7} - \sqrt{3})^2 $$ Раскроем квадрат разности: $$ (\sqrt{7} - \sqrt{3})^2 = 7 - 2\sqrt{21} + 3 = 10 - 2\sqrt{21} $$ Следовательно: $$ \log_{\sqrt{2}} \frac{4}{\sqrt{3} + \sqrt{7}} = \log_2 (10 - 2\sqrt{21}) $$ 3. Преобразуем третье слагаемое, приведя основание и аргумент к степеням: $$ \log_{\frac{1}{2}} \frac{1}{2\sqrt{21} + 10} = \log_{2^{-1}} (10 + 2\sqrt{21})^{-1} = \frac{-1}{-1} \log_2 (10 + 2\sqrt{21}) = \log_2 (10 + 2\sqrt{21}) $$ 4. Сложим второе и третье слагаемые, используя свойство суммы логарифмов: $$ \log_2 (10 - 2\sqrt{21}) + \log_2 (10 + 2\sqrt{21}) = \log_2 \left((10 - 2\sqrt{21})(10 + 2\sqrt{21})\right) $$ Применим формулу разности квадратов: $$ (10 - 2\sqrt{21})(10 + 2\sqrt{21}) = 10^2 - (2\sqrt{21})^2 = 100 - 4 \cdot 21 = 100 - 84 = 16 $$ Тогда: $$ \log_2 16 = 4 $$ 5. Найдем общее значение выражения $A$: $$ A = 2 + 4 = 6 $$ Ответ: 1) 4; 2) 6.