ГДЗ по алгебре 10 класс Шабунин дидактические материалы (Алимов) Базовый и углубленный уровень глава 4 / задание для интересующихся математикой - 3

Представим сравниваемые числа в виде суммы целой и дробной части, выделив единицу: $$ \log_3 4 = \log_3 \left(3 \cdot \frac{4}{3}\right) = \log_3 3 + \log_3 \frac{4}{3} = 1 + \log_3 \frac{4}{3} $$ $$ \log_5 6 = \log_5 \left(5 \cdot \frac{6}{5}\right) = \log_5 5 + \log_5 \frac{6}{5} = 1 + \log_5 \frac{6}{5} $$ Для сравнения исходных чисел достаточно сравнить значения $\log_3 \frac{4}{3}$ и $\log_5 \frac{6}{5}$. 1. Сравним $\log_3 \frac{4}{3}$ и $\log_5 \frac{4}{3}$. Используем переход к натуральным логарифмам (или к любому основанию больше 1): $$ \log_3 \frac{4}{3} = \frac{\ln \frac{4}{3}}{\ln 3}, \quad \log_5 \frac{4}{3} = \frac{\ln \frac{4}{3}}{\ln 5} $$ Так как $\frac{4}{3} > 1$, то числитель $\ln \frac{4}{3} > 0$. Поскольку $1 < 3 < 5$, то $0 < \ln 3 < \ln 5$. Из двух дробей с одинаковым положительным числителем больше та, у которой знаменатель меньше: $$ \frac{\ln \frac{4}{3}}{\ln 3} > \frac{\ln \frac{4}{3}}{\ln 5} \implies \log_3 \frac{4}{3} > \log_5 \frac{4}{3} $$ 2. Сравним $\log_5 \frac{4}{3}$ и $\log_5 \frac{6}{5}$. Приведем аргументы к общему знаменателю: $\frac{4}{3} = \frac{20}{15}$, а $\frac{6}{5} = \frac{18}{15}$. Так как $\frac{20}{15} > \frac{18}{15}$, то $\frac{4}{3} > \frac{6}{5}$. Поскольку основание логарифма $5 > 1$, логарифмическая функция $y = \log_5 x$ строго возрастает, следовательно: $$ \log_5 \frac{4}{3} > \log_5 \frac{6}{5} $$ 3. Объединим полученные неравенства: $$ \log_3 \frac{4}{3} > \log_5 \frac{4}{3} > \log_5 \frac{6}{5} \implies \log_3 \frac{4}{3} > \log_5 \frac{6}{5} $$ Прибавим к обеим частям полученного неравенства $1$: $$ 1 + \log_3 \frac{4}{3} > 1 + \log_5 \frac{6}{5} $$ $$ \log_3 4 > \log_5 6 $$ Ответ: $\log_3 4 > \log_5 6$.