ГДЗ по алгебре 10 класс Шабунин дидактические материалы (Алимов) Базовый и углубленный уровень глава 4 / задание для интересующихся математикой - 6

Найдем область допустимых значений (ОДЗ) системы уравнений: $$ \begin{cases} x > 0, \quad x \neq 1, \\ y > 0, \quad y \neq 1, \\ 10y - 9x > 0. \end{cases} $$ Преобразуем первое уравнение системы. Используя формулу перехода к новому основанию $\frac{1}{\log_x y} = \log_y x$, получаем: $$ \log_y (10y - 9x) = 2 - \log_y x $$ $$ \log_y (10y - 9x) + \log_y x = 2 $$ $$ \log_y (x(10y - 9x)) = 2 $$ По определению логарифма: $$ x(10y - 9x) = y^2 $$ $$ 10xy - 9x^2 = y^2 $$ $$ y^2 - 10xy + 9x^2 = 0 $$ Разложим левую часть на множители: $$ (y - x)(y - 9x) = 0 $$ Отсюда получаем два возможных случая: $y = x$ или $y = 9x$. Заметим, что для второго уравнения системы при $x > 0$ слагаемое $\log_9 x^2$ упрощается: $$ \log_9 x^2 = \log_{3^2} x^2 = \frac{2}{2}\log_3 x = \log_3 x $$ Рассмотрим каждый случай отдельно. **Случай 1:** $y = x$. Проверим условие $10y - 9x > 0$: $10x - 9x = x > 0$, что верно при $x > 0$. Подставим $y = x$ во второе уравнение системы: $$ 5 + \frac{\log_3^2 x - 4}{\log_3 x} = 4^{x - x} + \log_3 x $$ Так как $4^0 = 1$, уравнение принимает вид: $$ 5 + \frac{\log_3^2 x - 4}{\log_3 x} = 1 + \log_3 x $$ $$ 4 + \frac{\log_3^2 x - 4}{\log_3 x} - \log_3 x = 0 $$ Приведем к общему знаменателю: $$ \frac{4\log_3 x + \log_3^2 x - 4 - \log_3^2 x}{\log_3 x} = 0 $$ $$ \frac{4\log_3 x - 4}{\log_3 x} = 0 $$ $$ 4\log_3 x - 4 = 0 $$ $$ \log_3 x = 1 \implies x = 3 $$ Так как $y = x$, то $y = 3$. Значения $x = 3$ и $y = 3$ удовлетворяют ОДЗ ($3 > 0$, $3 \neq 1$, $10 \cdot 3 - 9 \cdot 3 = 3 > 0$). Получили первое решение: $(3; 3)$. **Случай 2:** $y = 9x$. Проверим условие $10y - 9x > 0$: $10(9x) - 9x = 81x > 0$, что верно при $x > 0$. Выразим знаменатель дроби во втором уравнении: $$ \log_3 y = \log_3 (9x) = \log_3 9 + \log_3 x = \log_3 x + 2 $$ Также показатель степени равен: $y - x = 9x - x = 8x$. Подставим полученные выражения во второе уравнение: $$ 5 + \frac{\log_3^2 x - 4}{\log_3 x + 2} = 4^{8x} + \log_3 x $$ Разложим числитель дроби как разность квадратов: $\log_3^2 x - 4 = (\log_3 x - 2)(\log_3 x + 2)$. Так как по ОДЗ $y \neq 1 \implies \log_3 x + 2 \neq 0$, сократим дробь: $$ 5 + (\log_3 x - 2) = 4^{8x} + \log_3 x $$ $$ 3 + \log_3 x = 4^{8x} + \log_3 x $$ $$ 4^{8x} = 3 $$ Прологарифмируем обе части уравнения по основанию $4$: $$ 8x = \log_4 3 \implies x = \frac{1}{8}\log_4 3 $$ Найдем значение $y$: $$ y = 9x = \frac{9}{8}\log_4 3 $$ Проверим найденные значения по ОДЗ: - Так как $3 > 1$, то $\log_4 3 > 0$, следовательно, $x > 0$ и $y > 0$. - Так как $\log_4 3 < 1$, то $x = \frac{1}{8}\log_4 3 < \frac{1}{8} \neq 1$. - Проверим, что $y \neq 1$: $\frac{9}{8}\log_4 3 = 1 \iff \log_4 3 = \frac{8}{9} \iff 4^{8/9} = 3 \iff 4^8 = 3^9$, но $4^8 = 65536 \neq 3^9 = 19683$, значит, $y \neq 1$. - Условие $\log_3 x + 2 \neq 0$ выполняется, так как $x = \frac{1}{8}\log_4 3 \neq \frac{1}{9}$. Таким образом, пара $\left(\frac{1}{8}\log_4 3; \frac{9}{8}\log_4 3\right)$ является решением. Ответ: $(3; 3); \left(\frac{1}{8}\log_4 3; \frac{9}{8}\log_4 3\right)$.