ГДЗ по алгебре 10 класс Шабунин дидактические материалы (Алимов) Базовый и углубленный уровень глава 4 / задание для интересующихся математикой - 7

Решим систему уравнений: $$ \begin{cases} \log_x(6x - 8y) = 2 - \dfrac{1}{\log_y x}, \\ 2 + \dfrac{\log_2^2 x - 1}{\log_2 y} = 5^{4y-x} + \log_4 x^2. \end{cases} $$ Найдем область допустимых значений (ОДЗ) системы: $$ \begin{cases} x > 0, \quad x \neq 1, \\ y > 0, \quad y \neq 1, \\ 6x - 8y > 0. \end{cases} $$ Преобразуем первое уравнение системы. Используя формулу перехода к новому основанию $\dfrac{1}{\log_y x} = \log_x y$, получаем: $$ \log_x(6x - 8y) = 2 - \log_x y. $$ Представим $2$ как $\log_x x^2$: $$ \log_x(6x - 8y) = \log_x x^2 - \log_x y, $$ $$ \log_x(6x - 8y) = \log_x \left(\frac{x^2}{y}\right). $$ Потенцируя, получаем: $$ 6x - 8y = \frac{x^2}{y}, $$ $$ 6xy - 8y^2 = x^2, $$ $$ x^2 - 6xy + 8y^2 = 0. $$ Решим полученное однородное уравнение относительно $x$: $$ (x - 2y)(x - 4y) = 0. $$ Отсюда $x = 2y$ или $x = 4y$. При $y > 0$ в обоих случаях условие $6x - 8y > 0$ выполняется: - если $x = 2y$, то $6(2y) - 8y = 4y > 0$; - если $x = 4y$, то $6(4y) - 8y = 16y > 0$. Преобразуем второе уравнение системы. Поскольку $x > 0$, слагаемое $\log_4 x^2$ упрощается: $$ \log_4 x^2 = \log_{2^2} x^2 = \frac{2}{2}\log_2 x = \log_2 x. $$ Тогда второе уравнение принимает вид: $$ 2 + \frac{\log_2^2 x - 1}{\log_2 y} = 5^{4y-x} + \log_2 x. $$ Рассмотрим два случая: **1 случай:** $x = 4y$, откуда $y = \dfrac{x}{4}$ и $4y - x = 0$. Тогда $5^{4y-x} = 5^0 = 1$, а логарифм $\log_2 y$ равен: $$ \log_2 y = \log_2 \left(\frac{x}{4}\right) = \log_2 x - \log_2 4 = \log_2 x - 2. $$ Подставим эти выражения во второе уравнение: $$ 2 + \frac{\log_2^2 x - 1}{\log_2 x - 2} = 1 + \log_2 x. $$ Пусть $t = \log_2 x$, причем $t \neq 2$ (так как $y \neq 1 \implies x \neq 4$): $$ 2 + \frac{t^2 - 1}{t - 2} = 1 + t, $$ $$ 1 + \frac{t^2 - 1}{t - 2} - t = 0, $$ $$ \frac{t - 2 + t^2 - 1 - t(t - 2)}{t - 2} = 0, $$ $$ \frac{t - 2 + t^2 - 1 - t^2 + 2t}{t - 2} = 0, $$ $$ \frac{3t - 3}{t - 2} = 0 \implies 3t - 3 = 0 \implies t = 1. $$ Возвращаемся к переменной $x$: $$ \log_2 x = 1 \implies x = 2. $$ Тогда: $$ y = \frac{x}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}. $$ Значения $x = 2$ и $y = \dfrac{1}{2}$ удовлетворяют ОДЗ. Получаем первое решение: $\left(2; \dfrac{1}{2}\right)$. **2 случай:** $x = 2y$, откуда $y = \dfrac{x}{2}$ и $4y - x = 4 \cdot \dfrac{x}{2} - x = x$. Тогда $5^{4y-x} = 5^x$, а логарифм $\log_2 y$ равен: $$ \log_2 y = \log_2 \left(\frac{x}{2}\right) = \log_2 x - 1. $$ Подставим эти выражения во второе уравнение: $$ 2 + \frac{\log_2^2 x - 1}{\log_2 x - 1} = 5^x + \log_2 x. $$ Так как $y \neq 1$, то $x \neq 2$, а значит $\log_2 x \neq 1$. Разложим числитель дроби по формуле разности квадратов и сократим: $$ \frac{\log_2^2 x - 1}{\log_2 x - 1} = \frac{(\log_2 x - 1)(\log_2 x + 1)}{\log_2 x - 1} = \log_2 x + 1. $$ Уравнение принимает вид: $$ 2 + \log_2 x + 1 = 5^x + \log_2 x, $$ $$ 3 = 5^x \implies x = \log_5 3. $$ Найдем значение $y$: $$ y = \frac{x}{2} = \frac{1}{2}\log_5 3. $$ Проверим ОДЗ: - $x = \log_5 3 > 0$ и $\log_5 3 \neq 1$; - $y = \dfrac{1}{2}\log_5 3 > 0$ и $\dfrac{1}{2}\log_5 3 \neq 1$ (так как $\log_5 3 \neq 2$). Получаем второе решение: $\left(\log_5 3; \dfrac{1}{2}\log_5 3\right)$. Ответ: $\left(2; \dfrac{1}{2}\right); \left(\log_5 3; \dfrac{1}{2} \log_5 3\right)$.