ГДЗ по алгебре 10 класс Шабунин дидактические материалы (Алимов) Базовый и углубленный уровень глава 4 / подготовка к экзамену - 22

Сумма выражений имеет вид: $$ \log_a(\sqrt{1 - x^2} + 1) + \log_a(\sqrt{1 - x^2} + 7) < 1 $$ 1. **Найдем область допустимых значений (ОДЗ) переменной $x$ и параметра $a$:** Для существования логарифмов основание $a$ должно удовлетворять условиям: $$ a > 0, \quad a \neq 1 $$ Подкоренное выражение должно быть неотрицательным: $$ 1 - x^2 \ge 0 \iff x^2 \le 1 \iff -1 \le x \le 1 $$ При этом выражения под знаками логарифмов: $$ \sqrt{1 - x^2} + 1 \ge 1 > 0 $$ $$ \sqrt{1 - x^2} + 7 \ge 7 > 0 $$ Они положительны при всех $x \in [-1; 1]$. Таким образом, допустимыми значениями переменной $x$ является отрезок $[-1; 1]$. 2. **Преобразуем исходное неравенство с помощью замены переменной:** Пусть $t = \sqrt{1 - x^2}$. Так как $x \in [-1; 1]$, то $x^2 \in [0; 1]$, следовательно, $1 - x^2 \in [0; 1]$, откуда $t \in [0; 1]$. По свойству суммы логарифмов с одинаковым основанием: $$ \log_a(t + 1) + \log_a(t + 7) = \log_a\big((t + 1)(t + 7)\big) $$ Рассмотрим функцию $f(t) = (t + 1)(t + 7) = t^2 + 8t + 7$. Так как при $t \ge 0$ функция $f(t)$ строго возрастает, найдем множество её значений на отрезке $t \in [0; 1]$: $$ f(0) = (0 + 1)(0 + 7) = 7 $$ $$ f(1) = (1 + 1)(1 + 7) = 2 \cdot 8 = 16 $$ Следовательно, при всех допустимых значениях $x$ выражение под логарифмом принимает значения из отрезка $[7; 16]$. Неравенство $\log_a(f(t)) < 1$ должно выполняться для всех $f(t) \in [7; 16]$. 3. **Рассмотрим два случая в зависимости от основания $a$:** * **Случай 1:** $0 < a < 1$. Логарифмическая функция с основанием, меньшим единицы, строго убывает, поэтому знак неравенства меняется: $$ \log_a(f(t)) < 1 \iff f(t) > a $$ Чтобы неравенство $f(t) > a$ выполнялось для всех $t \in [0; 1]$, необходимо и достаточно, чтобы наименьшее значение функции было строго больше $a$: $$ \min_{t \in [0; 1]} f(t) > a \iff 7 > a \iff a < 7 $$ С учетом условия $0 < a < 1$, получаем: $$ a \in (0; 1) $$ * **Случай 2:** $a > 1$. Логарифмическая функция с основанием, большим единицы, строго возрастает, поэтому знак неравенства сохраняется: $$ \log_a(f(t)) < 1 \iff f(t) < a $$ Чтобы неравенство $f(t) < a$ выполнялось для всех $t \in [0; 1]$, необходимо и достаточно, чтобы наибольшее значение функции было строго меньше $a$: $$ \max_{t \in [0; 1]} f(t) < a \iff 16 < a \iff a > 16 $$ С учетом условия $a > 1$, получаем: $$ a \in (16; +\infty) $$ 4. **Объединим полученные результаты:** $$ a \in (0; 1) \cup (16; +\infty) $$ Ответ: $0 < a < 1$, $a > 16$.