ГДЗ по алгебре 10 класс Шабунин дидактические материалы (Алимов) Базовый и углубленный уровень глава 4 / подготовка к экзамену - 9

1) Дана функция: $$ y = \log_{0,4} \log_4 \frac{5 - x}{x - 2} $$ Область определения логарифмической функции состоит из всех значений переменной, при которых выражение, стоящее под знаком логарифма, строго больше нуля. Для внешнего логарифма подлогарифмическое выражение должно быть положительным: $$ \log_4 \frac{5 - x}{x - 2} > 0 $$ Так как основание логарифма $4 > 1$, а $0 = \log_4 1$, то функция $\log_4 t$ возрастает. Неравенство равносильно следующему: $$ \frac{5 - x}{x - 2} > 1 $$ Заметим, что условие существования внутреннего логарифма $\frac{5 - x}{x - 2} > 0$ выполняется автоматически, так как дробь строго больше $1$. Решим полученное неравенство: $$ \frac{5 - x}{x - 2} - 1 > 0 $$ $$ \frac{5 - x - (x - 2)}{x - 2} > 0 $$ $$ \frac{7 - 2x}{x - 2} > 0 $$ Умножим обе части неравенства на $-1$, изменив знак неравенства: $$ \frac{2x - 7}{x - 2} < 0 $$ Применим метод интервалов. Корни числителя и знаменателя: $2x - 7 = 0 \implies x = 3,5$; $x - 2 = 0 \implies x = 2$. Знаки выражения $\frac{2x - 7}{x - 2}$ на интервалах: - при $x > 3,5$: знак «$+$»; - при $2 < x < 3,5$: знак «$-$»; - при $x < 2$: знак «$+$». Выбираем интервал со знаком «$-$»: $$ 2 < x < 3,5 $$ Ответ к пункту 1: $2 < x < 3,5$. --- 2) Дана функция: $$ y = \log_{5} \log_{0,5} \frac{3 - x}{x + 2} $$ Область определения определяется системой неравенств: $$ \begin{cases} \log_{0,5} \frac{3 - x}{x + 2} > 0, \\ \frac{3 - x}{x + 2} > 0 \end{cases} $$ Так как основание внутреннего логарифма $0 < 0,5 < 1$, функция $\log_{0,5} t$ убывает. Учитывая, что $0 = \log_{0,5} 1$, первое неравенство принимает вид: $$ \frac{3 - x}{x + 2} < 1 $$ Объединяя с условием $\frac{3 - x}{x + 2} > 0$, получаем двойное неравенство: $$ 0 < \frac{3 - x}{x + 2} < 1 $$ Перейдём к системе: $$ \begin{cases} \frac{3 - x}{x + 2} > 0, \\ \frac{3 - x}{x + 2} < 1 \end{cases} $$ Решим первое неравенство системы: $$ \frac{3 - x}{x + 2} > 0 \iff \frac{x - 3}{x + 2} < 0 $$ Методом интервалов получаем: $$ -2 < x < 3 $$ Решим второе неравенство системы: $$ \frac{3 - x}{x + 2} - 1 < 0 $$ $$ \frac{3 - x - (x + 2)}{x + 2} < 0 $$ $$ \frac{1 - 2x}{x + 2} < 0 $$ Умножим на $-1$: $$ \frac{2x - 1}{x + 2} > 0 $$ Корни числителя и знаменателя: $x = 0,5$ и $x = -2$. Методом интервалов находим: $$ x < -2 \quad \text{или} \quad x > 0,5 $$ Найдём пересечение решений обоих неравенств: $$ \begin{cases} -2 < x < 3, \\ x \in (-\infty; -2) \cup (0,5; +\infty) \end{cases} $$ Пересечением является промежуток: $$ 0,5 < x < 3 $$ Ответ к пункту 2: $0,5 < x < 3$. --- Ответ: 1) $2 < x < 3,5$; 2) $0,5 < x < 3$.