ГДЗ по алгебре 10 класс Шабунин дидактические материалы (Алимов) Базовый и углубленный уровень глава 4 / подготовка к экзамену - 8

1. **Область допустимых значений (ОДЗ):** Аргумент логарифма должен быть строго положительным: $$ x > 0 $$ 2. **Нули множителей левой части неравенства:** Приравняем каждый множитель к нулю: 1) $3 \log_3 x - 1 = 0$ $$ \log_3 x = \frac{1}{3} $$ $$ x = 3^{\frac{1}{3}} = \sqrt[3]{3} $$ 2) $3x - 4 = 0$ $$ 3x = 4 \implies x = \frac{4}{3} $$ 3. **Сравнение найденных значений:** Сравним числа $\frac{4}{3}$ и $\sqrt[3]{3}$, возведя их в третью степень: $$ \left(\frac{4}{3}\right)^3 = \frac{64}{27} = 2\frac{10}{27} $$ $$ (\sqrt[3]{3})^3 = 3 = \frac{81}{27} $$ Так как $\frac{64}{27} < 3$, то $\frac{4}{3} < \sqrt[3]{3}$. 4. **Решение неравенства методом интервалов:** Нанесем точки $\frac{4}{3}$ и $\sqrt[3]{3}$ на числовую прямую с учетом ОДЗ ($x > 0$). Точки закрашенные, так как знак неравенства нестрогий ($\geq$). Получаем три интервала: $\left(0; \frac{4}{3}\right]$, $\left[\frac{4}{3}; \sqrt[3]{3}\right]$ и $[\sqrt[3]{3}; +\infty)$. Определим знаки выражения $f(x) = (3 \log_3 x - 1)(3x - 4)$ на каждом из интервалов: - При $x = 1 \in \left(0; \frac{4}{3}\right)$: $3 \log_3 1 - 1 = -1 < 0$; $3 \cdot 1 - 4 = -1 < 0$; знак выражения: $(-1) \cdot (-1) > 0$ («$+$»). - При переходе через точку $x = \frac{4}{3}$ знак меняется на противоположный («$-»$). - При переходе через точку $x = \sqrt[3]{3}$ знак меняется на противоположный («$+$»). Нам подходят промежутки, где выражение неотрицательно ($\geq 0$): $$ 0 < x \leq \frac{4}{3} \quad \text{или} \quad x \geq \sqrt[3]{3} $$ 5. **Проверка значения $x = 1,5$:** Сравним число $1,5$ с границей $\sqrt[3]{3}$: $$ (1,5)^3 = \left(\frac{3}{2}\right)^3 = \frac{27}{8} = 3,375 $$ $$ (\sqrt[3]{3})^3 = 3 $$ Так как $3,375 > 3$, то $1,5 > \sqrt[3]{3}$. Следовательно, число $1,5$ принадлежит промежутку $[\sqrt[3]{3}; +\infty)$, то есть является решением неравенства. Ответ: $0 < x \leq \frac{4}{3}$; $x \geq \sqrt[3]{3}$; $x = 1,5$ — решение неравенства.