ГДЗ по алгебре 10 класс Шабунин дидактические материалы (Алимов) Базовый и углубленный уровень глава 4 / подготовка к экзамену - 10

1) Решим неравенство: $$ \log_{\frac{1}{3}} \log_2 \frac{x - 1}{2 - x} > -1 $$ Так как основание внешнего логарифма $0 < \frac{1}{3} < 1$, функция $y = \log_{\frac{1}{3}} t$ является убывающей. Переходя к подлогарифмическому выражению, меняем знак неравенства и учитываем, что выражение под знаком логарифма должно быть строго положительным: $$ 0 < \log_2 \frac{x - 1}{2 - x} < \left(\frac{1}{3}\right)^{-1} $$ $$ 0 < \log_2 \frac{x - 1}{2 - x} < 3 $$ Так как основание логарифма $2 > 1$, функция $y = \log_2 t$ возрастает, поэтому знаки неравенств сохраняются: $$ 2^0 < \frac{x - 1}{2 - x} < 2^3 $$ $$ 1 < \frac{x - 1}{2 - x} < 8 $$ Перейдем к системе двух неравенств: $$ \begin{cases} \dfrac{x - 1}{2 - x} > 1 \\ \dfrac{x - 1}{2 - x} < 8 \end{cases} $$ Решим первое неравенство системы: $$ \frac{x - 1}{2 - x} - 1 > 0 \iff \frac{x - 1 - (2 - x)}{2 - x} > 0 \iff \frac{2x - 3}{2 - x} > 0 \iff \frac{2x - 3}{x - 2} < 0 $$ Методом интервалов получаем: $$ \frac{3}{2} < x < 2 \iff 1\frac{1}{2} < x < 2 $$ Решим второе неравенство системы: $$ \frac{x - 1}{2 - x} - 8 < 0 \iff \frac{x - 1 - 8(2 - x)}{2 - x} < 0 \iff \frac{9x - 17}{2 - x} < 0 \iff \frac{9x - 17}{x - 2} > 0 $$ Методом интервалов получаем: $$ x < \frac{17}{9} \quad \text{или} \quad x > 2 \iff x < 1\frac{8}{9} \quad \text{или} \quad x > 2 $$ Найдем пересечение решений первого и второго неравенств: $$ \begin{cases} 1\frac{1}{2} < x < 2 \\ x < 1\frac{8}{9} \;\text{или}\; x > 2 \end{cases} \iff 1\frac{1}{2} < x < 1\frac{8}{9} $$ Ответ к пункту 1: $1\frac{1}{2} < x < 1\frac{8}{9}$ (или $x \in \left(1\frac{1}{2}; 1\frac{8}{9}\right)$). --- 2) Решим неравенство: $$ \log_{\frac{1}{2}} \log_3 \frac{x - 2}{1 - x} > -1 $$ Основание внешнего логарифма $0 < \frac{1}{2} < 1$, следовательно, функция убывает. Меняем знак неравенства на противоположный и учитываем условие положительности аргумента внешнего логарифма: $$ 0 < \log_3 \frac{x - 2}{1 - x} < \left(\frac{1}{2}\right)^{-1} $$ $$ 0 < \log_3 \frac{x - 2}{1 - x} < 2 $$ Основание логарифма $3 > 1$, функция возрастает, поэтому сохраняем знаки неравенств: $$ 3^0 < \frac{x - 2}{1 - x} < 3^2 $$ $$ 1 < \frac{x - 2}{1 - x} < 9 $$ Запишем двойное неравенство в виде системы: $$ \begin{cases} \dfrac{x - 2}{1 - x} > 1 \\ \dfrac{x - 2}{1 - x} < 9 \end{cases} $$ Решим первое неравенство системы: $$ \frac{x - 2}{1 - x} - 1 > 0 \iff \frac{x - 2 - (1 - x)}{1 - x} > 0 \iff \frac{2x - 3}{1 - x} > 0 \iff \frac{2x - 3}{x - 1} < 0 $$ Методом интервалов находим: $$ 1 < x < 1,5 $$ Решим второе неравенство системы: $$ \frac{x - 2}{1 - x} - 9 < 0 \iff \frac{x - 2 - 9(1 - x)}{1 - x} < 0 \iff \frac{10x - 11}{1 - x} < 0 \iff \frac{10x - 11}{x - 1} > 0 $$ Методом интервалов находим: $$ x < 1 \quad \text{или} \quad x > 1,1 $$ Найдем общее решение системы: $$ \begin{cases} 1 < x < 1,5 \\ x < 1 \;\text{или}\; x > 1,1 \end{cases} \iff 1,1 < x < 1,5 $$ Ответ к пункту 2: $1,1 < x < 1,5$ (или $x \in (1,1; 1,5)$). --- Ответ: 1) $1\frac{1}{2} < x < 1\frac{8}{9}$; 2) $1,1 < x < 1,5$.