ГДЗ по алгебре 10 класс Шабунин дидактические материалы (Алимов) Базовый и углубленный уровень глава 4 / подготовка к экзамену - 7

1) Решим неравенство: $$ \log_5 \frac{3 - x}{x + 2} > 0 $$ Область допустимых значений (ОДЗ): выражение под знаком логарифма должно быть строго больше нуля: $$ \frac{3 - x}{x + 2} > 0 $$ Так как основание логарифма $5 > 1$, логарифмическая функция возрастает, и знак неравенства сохраняется при переходе к подлогарифмическому выражению ($0 = \log_5 1$): $$ \frac{3 - x}{x + 2} > 5^0 $$ $$ \frac{3 - x}{x + 2} > 1 $$ Заметим, что при выполнении условия $\frac{3 - x}{x + 2} > 1$ условие ОДЗ $\frac{3 - x}{x + 2} > 0$ выполняется автоматически. Перенесём единицу в левую часть и приведём дробь к общему знаменателю: $$ \frac{3 - x}{x + 2} - 1 > 0 $$ $$ \frac{3 - x - (x + 2)}{x + 2} > 0 $$ $$ \frac{1 - 2x}{x + 2} > 0 $$ Умножим обе части неравенства на $-1$, изменив знак неравенства на противоположный: $$ \frac{2x - 1}{x + 2} < 0 $$ Найдём нули числителя и знаменателя: - числитель: $2x - 1 = 0 \implies x = 0,5$; - знаменатель: $x + 2 = 0 \implies x = -2$. Применим метод интервалов на числовой прямой: знаки выражения $\frac{2x - 1}{x + 2}$ чередуются: плюс на $(-\infty; -2)$, минус на $(-2; 0,5)$, плюс на $(0,5; +\infty)$. Нам необходим интервал со знаком «минус»: $$ -2 < x < 0,5 $$ *Примечание.* В некоторых изданиях сборника в условии данного пункта содержится опечатка: вместо знака $0$ в правой части стоит $1$ ($\log_5 \frac{3 - x}{x + 2} > 1$). В этом случае: $$ \frac{3 - x}{x + 2} > 5 \iff \frac{3 - x - 5(x + 2)}{x + 2} > 0 \iff \frac{-6x - 7}{x + 2} > 0 \iff \frac{6x + 7}{x + 2} < 0 $$ что даёт ответ $-2 < x < -1\frac{1}{6}$. Ответ к пункту 1: $-2 < x < 0,5$ (или $x \in (-2; 0,5)$). --- 2) Решим неравенство: $$ \log_4 \frac{5 - x}{x - 2} > 1 $$ Область допустимых значений: $$ \frac{5 - x}{x - 2} > 0 $$ Так как основание логарифма $4 > 1$, функция возрастает, поэтому знак неравенства сохраняется: $$ \frac{5 - x}{x - 2} > 4^1 $$ $$ \frac{5 - x}{x - 2} > 4 $$ (Условие ОДЗ выполняется автоматически, поскольку $\frac{5 - x}{x - 2} > 4 > 0$). Перенесём $4$ в левую часть и приведём к общему знаменателю: $$ \frac{5 - x}{x - 2} - 4 > 0 $$ $$ \frac{5 - x - 4(x - 2)}{x - 2} > 0 $$ $$ \frac{5 - x - 4x + 8}{x - 2} > 0 $$ $$ \frac{13 - 5x}{x - 2} > 0 $$ Умножим обе части неравенства на $-1$, меняя знак неравенства: $$ \frac{5x - 13}{x - 2} < 0 $$ Найдём нули числителя и знаменателя: - числитель: $5x - 13 = 0 \implies x = 2,6$; - знаменатель: $x - 2 = 0 \implies x = 2$. По методу интервалов получаем: $$ 2 < x < 2,6 $$ Ответ к пункту 2: $2 < x < 2,6$ (или $x \in (2; 2,6)$).