ГДЗ по алгебре 10 класс Шабунин дидактические материалы (Алимов) Базовый и углубленный уровень глава 4 / подготовка к экзамену - 6

1) $\log_{\frac{1}{3}} \frac{x-1}{x+3} > -2$ Так как основание логарифма $0 < \frac{1}{3} < 1$, логарифмическая функция является убывающей. Исходное неравенство равносильно системе: $$ \begin{cases} \dfrac{x-1}{x+3} > 0, \\[2ex] \dfrac{x-1}{x+3} < \left(\dfrac{1}{3}\right)^{-2} \end{cases} $$ Преобразуем второе неравенство системы: $\left(\frac{1}{3}\right)^{-2} = 3^2 = 9$, $$ \frac{x-1}{x+3} < 9 $$ $$ \frac{x-1}{x+3} - 9 < 0 $$ $$ \frac{x-1 - 9(x+3)}{x+3} < 0 $$ $$ \frac{x-1 - 9x - 27}{x+3} < 0 $$ $$ \frac{-8x - 28}{x+3} < 0 $$ Разделим обе части неравенства на $-4$, изменив знак неравенства на противоположный: $$ \frac{2x + 7}{x+3} > 0 $$ Решим полученную систему неравенств: $$ \begin{cases} \dfrac{x-1}{x+3} > 0, \\[2ex] \dfrac{2x+7}{x+3} > 0 \end{cases} $$ 1. Решение первого неравенства $\dfrac{x-1}{x+3} > 0$ методом интервалов: $x \in (-\infty; -3) \cup (1; +\infty)$. 2. Решение второго неравенства $\dfrac{2x+7}{x+3} > 0$ методом интервалов: $x \in (-\infty; -3,5) \cup (-3; +\infty)$. Найдём пересечение решений: - на промежутке $(-\infty; -3)$ оба неравенства выполняются при $x < -3,5$; - на промежутке $(-3; +\infty)$ оба неравенства выполняются при $x > 1$. Таким образом, $x < -3,5$ или $x > 1$. Ответ: $x \in (-\infty; -3,5) \cup (1; +\infty)$ (или $x < -3,5$; $x > 1$). --- 2) $\log_{\frac{1}{2}} \frac{2x-1}{x+1} > -2$ Так как основание логарифма $0 < \frac{1}{2} < 1$, логарифмическая функция является убывающей. Неравенство равносильно системе: $$ \begin{cases} \dfrac{2x-1}{x+1} > 0, \\[2ex] \dfrac{2x-1}{x+1} < \left(\dfrac{1}{2}\right)^{-2} \end{cases} $$ Преобразуем второе неравенство системы: $\left(\frac{1}{2}\right)^{-2} = 2^2 = 4$, $$ \frac{2x-1}{x+1} < 4 $$ $$ \frac{2x-1}{x+1} - 4 < 0 $$ $$ \frac{2x-1 - 4(x+1)}{x+1} < 0 $$ $$ \frac{2x-1 - 4x - 4}{x+1} < 0 $$ $$ \frac{-2x - 5}{x+1} < 0 $$ Разделим обе части неравенства на $-1$, изменив знак неравенства: $$ \frac{2x + 5}{x+1} > 0 $$ Решим систему неравенств: $$ \begin{cases} \dfrac{2x-1}{x+1} > 0, \\[2ex] \dfrac{2x+5}{x+1} > 0 \end{cases} $$ 1. Решение первого неравенства $\dfrac{2x-1}{x+1} > 0$ методом интервалов: нули числителя и знаменателя $x = 0,5$ и $x = -1$, откуда $x \in (-\infty; -1) \cup (0,5; +\infty)$. 2. Решение второго неравенства $\dfrac{2x+5}{x+1} > 0$ методом интервалов: нули числителя и знаменателя $x = -2,5$ и $x = -1$, откуда $x \in (-\infty; -2,5) \cup (-1; +\infty)$. Найдём пересечение решений: - на промежутке $(-\infty; -1)$ общим решением является $x < -2,5$; - на промежутке $(-1; +\infty)$ общим решением является $x > 0,5$. Таким образом, $x < -2,5$ или $x > 0,5$. Ответ: $x \in (-\infty; -2,5) \cup (0,5; +\infty)$ (или $x < -2,5$; $x > 0,5$).