ГДЗ по алгебре 10 класс Шабунин дидактические материалы (Алимов) Базовый и углубленный уровень глава 4 / подготовка к экзамену - 5

1) $(x^2 - 16) \log_{\frac{1}{3}}(2x + 1) = 0$ Найдем область допустимых значений (ОДЗ) уравнения: подлогарифмическое выражение должно быть строго положительным. $$ 2x + 1 > 0 \implies 2x > -1 \implies x > -0{,}5 $$ Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю, а второй при этом имеет смысл: $$ x^2 - 16 = 0 \quad \text{или} \quad \log_{\frac{1}{3}}(2x + 1) = 0 $$ Решим первое уравнение: $$ x^2 = 16 \implies x_1 = 4, \quad x_2 = -4 $$ Проверим ОДЗ для найденных значений: - При $x = 4$: $4 > -0{,}5$ — удовлетворяет ОДЗ. - При $x = -4$: $-4 < -0{,}5$ — не удовлетворяет ОДЗ (посторонний корень). Решим второе уравнение: $$ \log_{\frac{1}{3}}(2x + 1) = 0 \implies 2x + 1 = \left(\frac{1}{3}\right)^0 $$ $$ 2x + 1 = 1 \implies 2x = 0 \implies x = 0 $$ Проверим ОДЗ: - При $x = 0$: $0 > -0{,}5$ — удовлетворяет ОДЗ. Ответ: $x_1 = 0$, $x_2 = 4$. --- 2) $(3x^2 - x)\log_{0,5}(5x - 1) = 0$ Найдем область допустимых значений (ОДЗ) уравнения: $$ 5x - 1 > 0 \implies 5x > 1 \implies x > 0{,}2 $$ Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю и определен на ОДЗ: $$ 3x^2 - x = 0 \quad \text{или} \quad \log_{0,5}(5x - 1) = 0 $$ Решим первое уравнение: $$ x(3x - 1) = 0 \implies x = 0 \quad \text{или} \quad 3x - 1 = 0 \implies x = \frac{1}{3} $$ Проверим ОДЗ: - При $x = 0$: $0 < 0{,}2$ — не удовлетворяет ОДЗ (посторонний корень). - При $x = \frac{1}{3}$: $\frac{1}{3} > \frac{1}{5}$ ($0{,}33... > 0{,}2$) — удовлетворяет ОДЗ. Решим второе уравнение: $$ \log_{0,5}(5x - 1) = 0 \implies 5x - 1 = (0{,}5)^0 $$ $$ 5x - 1 = 1 \implies 5x = 2 \implies x = 0{,}4 $$ Проверим ОДЗ: - При $x = 0{,}4$: $0{,}4 > 0{,}2$ — удовлетворяет ОДЗ. Ответ: $x_1 = \frac{1}{3}$, $x_2 = 0{,}4$.