ГДЗ по алгебре 10 класс Шабунин дидактические материалы (Алимов) Базовый и углубленный уровень глава 4 / подготовка к экзамену - 4

Дана функция: $$ f(x) = \log_2(8x - 1) $$ Найдем выражение для $f\left(\frac{x}{2} + 5\right)$: $$ f\left(\frac{x}{2} + 5\right) = \log_2\left(8\left(\frac{x}{2} + 5\right) - 1\right) = \log_2(4x + 40 - 1) = \log_2(4x + 39) $$ Составим уравнение $f(x) = f\left(\frac{x}{2} + 5\right)$: $$ \log_2(8x - 1) = \log_2(4x + 39) $$ Найдем область допустимых значений (ОДЗ) уравнения: $$ \begin{cases} 8x - 1 > 0, \\ 4x + 39 > 0 \end{cases} \iff \begin{cases} x > \frac{1}{8}, \\ x > -\frac{39}{4} \end{cases} \iff x > \frac{1}{8} $$ Так как основания логарифмов равны, приравняем их подлогарифмические выражения: $$ 8x - 1 = 4x + 39 $$ Перенесем слагаемые с переменной в левую часть, а числовые — в правую: $$ 8x - 4x = 39 + 1 $$ $$ 4x = 40 $$ $$ x = 10 $$ Проверим найденное значение по ОДЗ: $10 > \frac{1}{8}$ — условие выполняется, следовательно, $x = 10$ является корнем уравнения. Ответ: $x = 10$.