ГДЗ по алгебре 10 класс Шабунин дидактические материалы (Алимов) Базовый и углубленный уровень глава 4 / подготовка к экзамену - 3

Дана функция: $$ f(x) = \log_3(5x - 2) $$ Составим выражение для $f(3x - 1)$, подставив $(3x - 1)$ вместо $x$: $$ f(3x - 1) = \log_3(5(3x - 1) - 2) = \log_3(15x - 5 - 2) = \log_3(15x - 7) $$ Запишем уравнение $f(x) = f(3x - 1)$: $$ \log_3(5x - 2) = \log_3(15x - 7) $$ Найдем область допустимых значений (ОДЗ) уравнения: $$ \begin{cases} 5x - 2 > 0 \\ 15x - 7 > 0 \end{cases} \iff \begin{cases} x > \dfrac{2}{5} \\ x > \dfrac{7}{15} \end{cases} $$ Так как $\dfrac{7}{15} > \dfrac{6}{15} = \dfrac{2}{5}$, получаем: $$ x > \dfrac{7}{15} $$ Поскольку основания логарифмов равны, приравняем их аргументы: $$ 5x - 2 = 15x - 7 $$ Перенесем слагаемые с переменной в одну часть, а числа — в другую: $$ 7 - 2 = 15x - 5x $$ $$ 10x = 5 $$ $$ x = \dfrac{5}{10} = \dfrac{1}{2} $$ Проверим принадлежность корня ОДЗ: $$ \dfrac{1}{2} = \dfrac{15}{30}, \quad \dfrac{7}{15} = \dfrac{14}{30} $$ Так как $\dfrac{15}{30} > \dfrac{14}{30}$, корень $x = \dfrac{1}{2}$ удовлетворяет условию $x > \dfrac{7}{15}$. Ответ: $x = \dfrac{1}{2}$.