ГДЗ по алгебре 10 класс Шабунин дидактические материалы (Алимов) Базовый и углубленный уровень глава 4 / подготовка к экзамену - 2

1) $y = \log_1(0,04 \cdot 5^x - 25^{3x+2})$ Область определения логарифмической функции определяется условием положительности её аргумента: $$ 0,04 \cdot 5^x - 25^{3x+2} > 0 $$ Преобразуем компоненты неравенства к степеням с основанием $5$: $0,04 = \frac{4}{100} = \frac{1}{25} = 5^{-2}$, $25^{3x+2} = (5^2)^{3x+2} = 5^{2(3x+2)} = 5^{6x+4}$. Подставим полученные выражения в неравенство: $$ 5^{-2} \cdot 5^x - 5^{6x+4} > 0 $$ $$ 5^{x-2} > 5^{6x+4} $$ Так как основание степени $5 > 1$, показательная функция возрастает, и знак неравенства для показателей сохраняется: $$ x - 2 > 6x + 4 $$ $$ x - 6x > 4 + 2 $$ $$ -5x > 6 $$ Разделим обе части на $-5$, меняя знак неравенства: $$ x < -\frac{6}{5} $$ $$ x < -1,2 $$ Или в виде числового промежутка: $x \in (-\infty; -1,2)$. Ответ: $x < -1,2$. --- 2) $y = \log_2(16^{2x+1} - 0,25 \cdot 2^x)$ Область определения функции находится из условия, что подлогарифмическое выражение строго больше нуля: $$ 16^{2x+1} - 0,25 \cdot 2^x > 0 $$ Приведём степени к общему основанию $2$: $16^{2x+1} = (2^4)^{2x+1} = 2^{4(2x+1)} = 2^{8x+4}$, $0,25 = \frac{1}{4} = 2^{-2}$, $0,25 \cdot 2^x = 2^{-2} \cdot 2^x = 2^{x-2}$. Перенесём слагаемое в правую часть: $$ 2^{8x+4} > 2^{x-2} $$ Так как основание степени $2 > 1$, знак неравенства сохраняется при переходе к показателям: $$ 8x + 4 > x - 2 $$ $$ 8x - x > -2 - 4 $$ $$ 7x > -6 $$ Разделим обе части на $7$: $$ x > -\frac{6}{7} $$ Или в виде числового промежутка: $x \in \left(-\frac{6}{7}; +\infty\right)$. Ответ: $x > -\frac{6}{7}$.