ГДЗ по алгебре 10 класс Шабунин дидактические материалы (Алимов) Базовый и углубленный уровень глава 4 / подготовка к экзамену - 1

1) Решим неравенство: $$ \frac{\log_{0,5}(x^2 - 3)}{\lg 3} \leqslant 0 $$ Так как основание десятичного логарифма $10 > 1$ и $3 > 1$, то $\lg 3 > \lg 1 = 0$. Знаменатель дроби положителен ($\lg 3 > 0$), поэтому умножим обе части неравенства на $\lg 3$, не меняя знак неравенства: $$ \log_{0,5}(x^2 - 3) \leqslant 0 $$ Представим число $0$ в виде логарифма по основанию $0,5$: $0 = \log_{0,5} 1$. Получаем: $$ \log_{0,5}(x^2 - 3) \leqslant \log_{0,5} 1 $$ Так как основание логарифма $0 < 0,5 < 1$, логарифмическая функция является убывающей. При переходе к подлогарифмическим выражениям знак неравенства меняется на противоположный: $$ x^2 - 3 \geqslant 1 $$ При этом условие допустимых значений подлогарифмического выражения $x^2 - 3 > 0$ выполняется автоматически, так как $x^2 - 3 \geqslant 1 > 0$. Решим полученное неравенство: $$ x^2 - 4 \geqslant 0 $$ $$ (x - 2)(x + 2) \geqslant 0 $$ Отсюда находим: $$ x \leqslant -2 \quad \text{или} \quad x \geqslant 2 $$ **Ответ к пункту 1:** $x \leqslant -2$, $x \geqslant 2$ (или $x \in (-\infty; -2] \cup [2; +\infty)$). --- 2) Решим неравенство: $$ \lg(x^2 - 1) \lg 0,5 \leqslant 0 $$ Определим знак постоянного множителя $\lg 0,5$. Так как основание логарифма $10 > 1$, а $0 < 0,5 < 1$, то $\lg 0,5 < \lg 1 = 0$, то есть $\lg 0,5$ — отрицательное число. Разделим обе части неравенства на $\lg 0,5 < 0$, при этом знак неравенства изменится на противоположный: $$ \lg(x^2 - 1) \geqslant 0 $$ Представим $0$ как $\lg 1$: $$ \lg(x^2 - 1) \geqslant \lg 1 $$ Так как основание логарифма $10 > 1$, функция возрастает, и знак неравенства сохраняется: $$ x^2 - 1 \geqslant 1 $$ Условие существования логарифма $x^2 - 1 > 0$ выполняется автоматически, поскольку $x^2 - 1 \geqslant 1 > 0$. Решим неравенство: $$ x^2 - 2 \geqslant 0 $$ $$ (x - \sqrt{2})(x + \sqrt{2}) \geqslant 0 $$ Отсюда получаем: $$ x \leqslant -\sqrt{2} \quad \text{или} \quad x \geqslant \sqrt{2} $$ **Ответ к пункту 2:** $x \leqslant -\sqrt{2}$, $x \geqslant \sqrt{2}$ (или $x \in (-\infty; -\sqrt{2}] \cup [\sqrt{2}; +\infty)$).