ГДЗ по алгебре 10 класс Шабунин дидактические материалы (Алимов) Базовый и углубленный уровень глава 4 / КР-4 / вариант 2 - 8

1. Найдем область допустимых значений (ОДЗ) неравенства: выражение под знаком логарифма должно быть строго больше нуля, то есть $$ x > 0 $$ 2. Введем замену переменной: пусть $t = \log_2 x$. Тогда исходное неравенство принимает вид квадратного неравенства: $$ t^2 - 3t \leqslant 4 $$ $$ t^2 - 3t - 4 \leqslant 0 $$ 3. Найдем корни уравнения $t^2 - 3t - 4 = 0$: $$ D = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-4) = 9 + 16 = 25 = 5^2 $$ $$ t_1 = \frac{3 - 5}{2} = -1 $$ $$ t_2 = \frac{3 + 5}{2} = 4 $$ Разложим левую часть неравенства на множители: $$ (t + 1)(t - 4) \leqslant 0 $$ Решением данного квадратного неравенства является промежуток: $$ -1 \leqslant t \leqslant 4 $$ 4. Вернемся к исходной переменной $x$: $$ -1 \leqslant \log_2 x \leqslant 4 $$ Представим числа $-1$ и $4$ в виде логарифмов по основанию $2$: $$ \log_2 2^{-1} \leqslant \log_2 x \leqslant \log_2 2^4 $$ $$ \log_2 \frac{1}{2} \leqslant \log_2 x \leqslant \log_2 16 $$ Так как основание логарифма $2 > 1$, функция $y = \log_2 x$ возрастает на всей области определения, следовательно, знаки неравенства сохраняются: $$ \frac{1}{2} \leqslant x \leqslant 16 $$ 5. С учетом ОДЗ ($x > 0$) получаем: $$ x \in \left[\frac{1}{2}; 16\right] $$ Ответ: $\left[\frac{1}{2}; 16\right]$