ГДЗ по алгебре 10 класс Шабунин дидактические материалы (Алимов) Базовый и углубленный уровень глава 4 / КР-4 / вариант 2 - 7

7. Решим уравнение: $$ \log_{\sqrt{3}} x + \log_{9} x = 10 $$ **1. Область допустимых значений (ОДЗ):** По определению логарифма выражение под знаком логарифма должно быть строго положительным: $$ x > 0 $$ **2. Преобразование уравнения:** Приведём логарифмы к основанию $3$, используя свойство $\log_{a^k} b = \frac{1}{k} \log_a b$: $$ \log_{\sqrt{3}} x = \log_{3^{\frac{1}{2}}} x = \frac{1}{\frac{1}{2}} \log_3 x = 2\log_3 x $$ $$ \log_{9} x = \log_{3^2} x = \frac{1}{2} \log_3 x $$ Подставим полученные выражения в исходное уравнение: $$ 2\log_3 x + \frac{1}{2}\log_3 x = 10 $$ Вынесем $\log_3 x$ за скобки и сложим коэффициенты: $$ \left(2 + \frac{1}{2}\right) \log_3 x = 10 $$ $$ \frac{5}{2}\log_3 x = 10 $$ Умножим обе части уравнения на $\frac{2}{5}$: $$ \log_3 x = 10 \cdot \frac{2}{5} $$ $$ \log_3 x = 4 $$ **3. Нахождение корня:** По определению логарифма: $$ x = 3^4 $$ $$ x = 81 $$ Значение $x = 81$ удовлетворяет ОДЗ ($81 > 0$). Ответ: $81$.