ГДЗ по алгебре 10 класс Шабунин дидактические материалы (Алимов) Базовый и углубленный уровень глава 4 / подготовка к экзамену - 13

### 1) Решим систему уравнений: $$ \begin{cases} \log_x y + \log_y x = \frac{5}{2}, \\ 4\sqrt{x} - 3\sqrt{y} = 1. \end{cases} $$ **Область допустимых значений (ОДЗ):** $$ \begin{cases} x > 0, \\ x \neq 1, \\ y > 0, \\ y \neq 1. \end{cases} $$ **Решение:** Используем свойство логарифма $\log_y x = \frac{1}{\log_x y}$ и преобразуем первое уравнение системы: $$ \log_x y + \frac{1}{\log_x y} = \frac{5}{2} $$ Пусть $t = \log_x y$, где $t \neq 0$: $$ t + \frac{1}{t} = \frac{5}{2} $$ Умножим обе части уравнения на $2t$: $$ 2t^2 - 5t + 2 = 0 $$ $$ D = (-5)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 2 = 25 - 16 = 9 = 3^2 $$ $$ t_1 = \frac{5 + 3}{4} = 2, \quad t_2 = \frac{5 - 3}{4} = \frac{1}{2} $$ Рассмотрим два возможных случая. **Случай 1:** $\log_x y = 2 \implies y = x^2$. Так как по ОДЗ $x > 0$, то $\sqrt{y} = \sqrt{x^2} = x$. Подставим это выражение во второе уравнение системы: $$ 4\sqrt{x} - 3x = 1 $$ $$ 3x - 4\sqrt{x} + 1 = 0 $$ Сделаем замену $u = \sqrt{x}$, где $u > 0$: $$ 3u^2 - 4u + 1 = 0 $$ $$ D = (-4)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 1 = 16 - 12 = 4 = 2^2 $$ $$ u_1 = \frac{4 + 2}{6} = 1, \quad u_2 = \frac{4 - 2}{6} = \frac{1}{3} $$ Вернемся к переменной $x$: 1. Если $\sqrt{x} = 1$, то $x = 1$, что не удовлетворяет ОДЗ ($x \neq 1$). 2. Если $\sqrt{x} = \frac{1}{3}$, то $x = \left(\frac{1}{3}\right)^2 = \frac{1}{9}$. Найдем значение $y$: $$ y = x^2 = \left(\frac{1}{9}\right)^2 = \frac{1}{81} $$ Значения $x = \frac{1}{9}$ и $y = \frac{1}{81}$ удовлетворяют ОДЗ. **Случай 2:** $\log_x y = \frac{1}{2} \implies y = x^{1/2} = \sqrt{x}$. Тогда $\sqrt{y} = \sqrt{\sqrt{x}} = x^{1/4}$. Подставим во второе уравнение: $$ 4\sqrt{x} - 3x^{1/4} = 1 $$ Сделаем замену $v = x^{1/4}$, где $v > 0$: $$ 4v^2 - 3v - 1 = 0 $$ $$ D = (-3)^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-1) = 9 + 16 = 25 = 5^2 $$ $$ v_1 = \frac{3 + 5}{8} = 1, \quad v_2 = \frac{3 - 5}{8} = -\frac{1}{4} $$ Так как $v > 0$, корень $v_2 = -\frac{1}{4}$ не подходит. При $v = 1$ получаем $x^{1/4} = 1 \implies x = 1$, что противоречит ОДЗ ($x \neq 1$). В этом случае решений нет. Ответ к пункту 1: $x = \frac{1}{9}$, $y = \frac{1}{81}$. --- ### 2) Решим систему уравнений: $$ \begin{cases} \log_y x - 2\log_x y = 1, \\ x^2 + 2y^2 = 3. \end{cases} $$ **Область допустимых значений (ОДЗ):** $$ \begin{cases} x > 0, \\ x \neq 1, \\ y > 0, \\ y \neq 1. \end{cases} $$ **Решение:** Используем свойство $\log_x y = \frac{1}{\log_y x}$ в первом уравнении системы: $$ \log_y x - \frac{2}{\log_y x} = 1 $$ Пусть $t = \log_y x$, где $t \neq 0$: $$ t - \frac{2}{t} = 1 $$ $$ t^2 - t - 2 = 0 $$ По теореме Виета: $$ t_1 = 2, \quad t_2 = -1 $$ Рассмотрим два случая. **Случай 1:** $\log_y x = 2 \implies x = y^2$. Подставим полученное выражение во второе уравнение системы: $$ (y^2)^2 + 2y^2 = 3 $$ $$ y^4 + 2y^2 - 3 = 0 $$ Пусть $z = y^2$, где $z > 0$: $$ z^2 + 2z - 3 = 0 $$ По теореме Виета: $$ z_1 = 1, \quad z_2 = -3 $$ Корень $z_2 = -3$ не удовлетворяет условию $z > 0$. При $z = 1$: $$ y^2 = 1 \implies y = 1 \quad (\text{так как } y > 0) $$ Однако $y = 1$ не удовлетворяет ОДЗ ($y \neq 1$). Значит, в данном случае решений нет. **Случай 2:** $\log_y x = -1 \implies x = y^{-1} = \frac{1}{y}$. Подставим во второе уравнение системы: $$ \left(\frac{1}{y}\right)^2 + 2y^2 = 3 $$ $$ \frac{1}{y^2} + 2y^2 = 3 $$ Умножим обе части уравнения на $y^2 > 0$: $$ 2y^4 - 3y^2 + 1 = 0 $$ Пусть $z = y^2$, где $z > 0$: $$ 2z^2 - 3z + 1 = 0 $$ $$ D = (-3)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 1 = 9 - 8 = 1 $$ $$ z_1 = \frac{3 + 1}{4} = 1, \quad z_2 = \frac{3 - 1}{4} = \frac{1}{2} $$ 1. Если $z = 1$, то $y^2 = 1 \implies y = 1$, что не подходит по ОДЗ ($y \neq 1$). 2. Если $z = \frac{1}{2}$, то: $$ y^2 = \frac{1}{2} \implies y = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2} \quad (\text{так как } y > 0) $$ Найдем значение $x$: $$ x = \frac{1}{y} = \frac{1}{\frac{1}{\sqrt{2}}} = \sqrt{2} $$ Пара чисел $x = \sqrt{2}$, $y = \frac{\sqrt{2}}{2}$ удовлетворяет ОДЗ. Ответ к пункту 2: $x = \sqrt{2}$, $y = \frac{\sqrt{2}}{2}$. --- Ответ: 1) $x = \frac{1}{9}$, $y = \frac{1}{81}$; 2) $x = \sqrt{2}$, $y = \frac{\sqrt{2}}{2}$.