ГДЗ по алгебре 10 класс Шабунин дидактические материалы (Алимов) Базовый и углубленный уровень глава 4 / подготовка к экзамену - 15

15. Решим логарифмическое уравнение: $$ 1 + \log_x (4 - x) = \log_5 3 \cdot \log_x 5 $$ 1. Найдем область допустимых значений (ОДЗ) уравнения: $$ \begin{cases} x > 0, \\ x \ne 1, \\ 4 - x > 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x > 0, \\ x \ne 1, \\ x < 4 \end{cases} $$ То есть $x \in (0; 1) \cup (1; 4)$. 2. Преобразуем правую часть уравнения. По формуле перехода к новому основанию $\log_5 3 = \dfrac{\log_x 3}{\log_x 5}$ при допустимых значениях $x$: $$ \log_5 3 \cdot \log_x 5 = \frac{\log_x 3}{\log_x 5} \cdot \log_x 5 = \log_x 3 $$ 3. Преобразуем левую часть уравнения, представив единицу как $\log_x x$: $$ 1 + \log_x (4 - x) = \log_x x + \log_x (4 - x) = \log_x (x(4 - x)) $$ 4. Исходное уравнение принимает вид: $$ \log_x (x(4 - x)) = \log_x 3 $$ Переходя к следствию уравнения: $$ x(4 - x) = 3 $$ $$ 4x - x^2 = 3 $$ $$ x^2 - 4x + 3 = 0 $$ По теореме Виета корни квадратного уравнения: $$ x_1 = 1, \quad x_2 = 3 $$ 5. Проверим корни по ОДЗ: - Значение $x_1 = 1$ не принадлежит ОДЗ, так как основание логарифма не может быть равно $1$ ($x \ne 1$). Следовательно, $x = 1$ — посторонний корень. - Значение $x_2 = 3$ удовлетворяет ОДЗ: $3 \in (0; 1) \cup (1; 4)$. Ответ: $x = 3$.