ГДЗ по алгебре 10 класс Шабунин дидактические материалы (Алимов) Базовый и углубленный уровень глава 4 / подготовка к экзамену - 14

1) Решим систему уравнений: $$ \begin{cases} x^{0,5 + \log_y x} = \sqrt{y}, \\ \log_{x+1} \dfrac{xy + y}{x} = 1 + \log_{x+1} (3 + 4x^2). \end{cases} $$ Найдем область допустимых значений (ОДЗ): $$ \begin{cases} x > 0, \\ y > 0, \\ y \neq 1, \\ x + 1 > 0, \\ x + 1 \neq 1, \\ \dfrac{xy+y}{x} > 0, \\ 3 + 4x^2 > 0. \end{cases} $$ С учетом того, что $x > 0$, условия $x+1 > 0$, $x+1 \neq 1$, $\dfrac{y(x+1)}{x} > 0$ и $3 + 4x^2 > 0$ выполняются автоматически. Таким образом, ОДЗ: $$ x > 0, \quad y > 0, \quad y \neq 1. $$ Преобразуем первое уравнение системы. Прологарифмируем обе части по основанию $y$: $$ \log_y \left(x^{0,5 + \log_y x}\right) = \log_y \sqrt{y}. $$ Используя свойства логарифма: $$ (0,5 + \log_y x) \cdot \log_y x = \frac{1}{2}. $$ Пусть $t = \log_y x$. Получаем квадратное уравнение: $$ t(0,5 + t) = 0,5 \iff t^2 + 0,5t - 0,5 = 0 \iff 2t^2 + t - 1 = 0. $$ Найдем корни уравнения: $$ D = 1^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-1) = 9, $$ $$ t_1 = \frac{-1 + 3}{4} = \frac{1}{2}, \quad t_2 = \frac{-1 - 3}{4} = -1. $$ Вернемся к переменным $x$ и $y$: - при $t = -1$: $\log_y x = -1 \implies x = y^{-1} \implies x = \dfrac{1}{y} \implies y = \dfrac{1}{x}$; - при $t = \dfrac{1}{2}$: $\log_y x = \dfrac{1}{2} \implies x = \sqrt{y} \implies y = x^2$. Преобразуем второе уравнение системы. Представим $1$ как $\log_{x+1} (x+1)$: $$ \log_{x+1} \frac{y(x+1)}{x} = \log_{x+1} (x+1) + \log_{x+1} (3 + 4x^2), $$ $$ \log_{x+1} \frac{y(x+1)}{x} = \log_{x+1} ((x+1)(3 + 4x^2)). $$ Так как основания логарифмов равны, приравниваем подлогарифмические выражения: $$ \frac{y(x+1)}{x} = (x+1)(3 + 4x^2). $$ Так как $x+1 \neq 0$ при $x > 0$, разделим обе части на $(x+1)$: $$ \frac{y}{x} = 3 + 4x^2 \implies y = 3x + 4x^3. $$ Рассмотрим два случая: а) $y = \dfrac{1}{x}$: $$ \frac{1}{x} = 3x + 4x^3. $$ Умножим обе части на $x > 0$: $$ 4x^4 + 3x^2 - 1 = 0. $$ Пусть $u = x^2$ ($u > 0$): $$ 4u^2 + 3u - 1 = 0, $$ $$ D = 9 - 4 \cdot 4 \cdot (-1) = 25, $$ $$ u_1 = \frac{-3 + 5}{8} = \frac{1}{4}, \quad u_2 = \frac{-3 - 5}{8} = -1 \quad (\text{не подходит, так как } u > 0). $$ Отсюда: $$ x^2 = \frac{1}{4} \implies x = \frac{1}{2} \quad (\text{так как } x > 0). $$ Находим $y$: $$ y = \frac{1}{\frac{1}{2}} = 2. $$ Значения $x = \dfrac{1}{2}$, $y = 2$ удовлетворяют ОДЗ ($y \neq 1$). б) $y = x^2$: $$ x^2 = 3x + 4x^3. $$ Так как $x > 0$, разделим обе части на $x$: $$ x = 3 + 4x^2 \implies 4x^2 - x + 3 = 0, $$ $$ D = (-1)^2 - 4 \cdot 4 \cdot 3 = 1 - 48 = -47 < 0. $$ Действительных корней нет. Ответ: $x = \dfrac{1}{2}$, $y = 2$. --- 2) Решим систему уравнений: $$ \begin{cases} y^{1 - 0,2 \log_x y} = x^{\frac{4}{5}}, \\ 2 + \log_x \left( 1 - \dfrac{3y}{x^2} \right) = \log_x 4. \end{cases} $$ Найдем область допустимых значений (ОДЗ): $$ \begin{cases} x > 0, \quad x \neq 1, \\ y > 0, \\ 1 - \dfrac{3y}{x^2} > 0 \implies 3y < x^2. \end{cases} $$ Преобразуем первое уравнение системы. Прологарифмируем обе части по основанию $x$: $$ \log_x \left(y^{1 - 0,2 \log_x y}\right) = \log_x \left(x^{\frac{4}{5}}\right), $$ $$ (1 - 0,2 \log_x y) \cdot \log_x y = \frac{4}{5}. $$ Пусть $u = \log_x y$: $$ (1 - 0,2u) \cdot u = 0,8 \iff u - 0,2u^2 = 0,8. $$ Умножим обе части на $-5$: $$ u^2 - 5u + 4 = 0. $$ По теореме Виета корни уравнения: $$ u_1 = 1, \quad u_2 = 4. $$ Возвращаемся к переменным $x$ и $y$: - при $u = 1$: $\log_x y = 1 \implies y = x$; - при $u = 4$: $\log_x y = 4 \implies y = x^4$. Преобразуем второе уравнение системы. Представим $2$ в виде $\log_x (x^2)$: $$ \log_x (x^2) + \log_x \left( 1 - \frac{3y}{x^2} \right) = \log_x 4, $$ $$ \log_x \left( x^2 \left( 1 - \frac{3y}{x^2} \right) \right) = \log_x 4, $$ $$ \log_x (x^2 - 3y) = \log_x 4. $$ Приравниваем подлогарифмические выражения: $$ x^2 - 3y = 4. $$ Рассмотрим два случая: а) $y = x$: $$ x^2 - 3x = 4 \implies x^2 - 3x - 4 = 0. $$ Корни по теореме Виета: $$ x_1 = 4, \quad x_2 = -1. $$ Значение $x = -1$ не удовлетворяет ОДЗ ($x > 0$). При $x = 4$ получаем: $$ y = x = 4. $$ Проверим условие $3y < x^2$: $$ 3 \cdot 4 < 4^2 \iff 12 < 16 \quad (\text{верно}). $$ Пара $x = 4$, $y = 4$ является решением. б) $y = x^4$: $$ x^2 - 3x^4 = 4 \implies 3x^4 - x^2 + 4 = 0. $$ Пусть $v = x^2$ ($v > 0$): $$ 3v^2 - v + 4 = 0, $$ $$ D = (-1)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 4 = 1 - 48 = -47 < 0. $$ Действительных корней нет. Ответ: $x = 4$, $y = 4$.