ГДЗ по алгебре 10 класс Шабунин дидактические материалы (Алимов) Базовый и углубленный уровень глава 4 / подготовка к экзамену - 16

16. Решим уравнение: $$ 1 - \log_{9}(x + 1)^2 = \frac{1}{2} \log_{\sqrt{3}} \frac{x + 5}{x + 3} $$ 1. **Область допустимых значений (ОДЗ):** Выражения, стоящие под знаком логарифма, должны быть строго положительными: $$ \begin{cases} (x + 1)^2 > 0, \\ \dfrac{x + 5}{x + 3} > 0 \end{cases} $$ * Из первого неравенства: $x + 1 \neq 0 \implies x \neq -1$. * Из второго неравенства методом интервалов: $x \in (-\infty; -5) \cup (-3; +\infty)$. Таким образом, ОДЗ: $$ x \in (-\infty; -5) \cup (-3; -1) \cup (-1; +\infty) $$ 2. **Преобразование уравнения:** Приведём все логарифмы к основанию $3$. Для левой части уравнения, учитывая, что $9 = 3^2$ и $(x + 1)^2 = |x + 1|^2$: $$ \log_{9}(x + 1)^2 = \log_{3^2}|x + 1|^2 = \frac{2}{2}\log_3 |x + 1| = \log_3 |x + 1| $$ Тогда левая часть принимает вид: $$ 1 - \log_{9}(x + 1)^2 = \log_3 3 - \log_3 |x + 1| = \log_3 \frac{3}{|x + 1|} $$ Для правой части уравнения, учитывая, что $\sqrt{3} = 3^{\frac{1}{2}}$: $$ \frac{1}{2} \log_{\sqrt{3}} \frac{x + 5}{x + 3} = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\frac{1}{2}} \log_3 \frac{x + 5}{x + 3} = \log_3 \frac{x + 5}{x + 3} $$ Исходное уравнение равносильно уравнению: $$ \log_3 \frac{3}{|x + 1|} = \log_3 \frac{x + 5}{x + 3} $$ Потенцируя, получаем следствие уравнения: $$ \frac{3}{|x + 1|} = \frac{x + 5}{x + 3} $$ 3. **Решение уравнения с модулем:** Раскроем знак модуля, рассмотрев два случая. **Случай 1:** $x + 1 > 0 \implies x > -1$. Тогда $|x + 1| = x + 1$: $$ \frac{3}{x + 1} = \frac{x + 5}{x + 3} $$ Перемножим крест-накрест при условии $x \neq -1, x \neq -3$: $$ 3(x + 3) = (x + 1)(x + 5) $$ $$ 3x + 9 = x^2 + 6x + 5 $$ $$ x^2 + 3x - 4 = 0 $$ По теореме Виета: $x = -4$ или $x = 1$. * Значение $x = -4$ не удовлетворяет условию раскрытия модуля $x > -1$. * Значение $x = 1$ удовлетворяет условию $x > -1$ и входит в ОДЗ. **Случай 2:** $x + 1 < 0 \implies x < -1$. Тогда $|x + 1| = -(x + 1)$: $$ \frac{3}{-(x + 1)} = \frac{x + 5}{x + 3} $$ $$ -3(x + 3) = (x + 1)(x + 5) $$ $$ -3x - 9 = x^2 + 6x + 5 $$ $$ x^2 + 9x + 14 = 0 $$ По теореме Виета: $x = -7$ или $x = -2$. * Значение $x = -7$ удовлетворяет условию $x < -1$ и входит в интервал ОДЗ $(-\infty; -5)$. * Значение $x = -2$ удовлетворяет условию $x < -1$ и входит в интервал ОДЗ $(-3; -1)$. Все найденные корни $x = -7$, $x = -2$, $x = 1$ являются решениями исходного уравнения. Ответ: $x_1 = -7, x_2 = -2, x_3 = 1$.