ГДЗ по алгебре 10 класс Шабунин дидактические материалы (Алимов) Базовый и углубленный уровень глава 4 / § 20 / вариант 2 - 34

34. Решим логарифмическое неравенство: $$ \log_5 \log_{\frac{1}{2}} \log_9 x < 0 $$ Данное неравенство равносильно системе, учитывающей область допустимых значений (ОДЗ) каждого логарифма и решение самого неравенства. 1. Представим правую часть неравенства в виде логарифма по основанию $5$: $$ 0 = \log_5 1 $$ Так как основание $5 > 1$, то функция $y = \log_5 t$ является возрастающей. С учетом того, что выражение под знаком логарифма должно быть строго положительным, получаем: $$ 0 < \log_{\frac{1}{2}} \log_9 x < 1 $$ 2. Представим числа $0$ и $1$ как логарифмы по основанию $\frac{1}{2}$: $$ 0 = \log_{\frac{1}{2}} 1, \quad 1 = \log_{\frac{1}{2}} \frac{1}{2} $$ Двойное неравенство принимает вид: $$ \log_{\frac{1}{2}} 1 < \log_{\frac{1}{2}} \log_9 x < \log_{\frac{1}{2}} \frac{1}{2} $$ Так как основание логарифма $0 < \frac{1}{2} < 1$, то функция $y = \log_{\frac{1}{2}} u$ является убывающей. При переходе к подлогарифмическим выражениям знаки неравенств меняются на противоположные: $$ \frac{1}{2} < \log_9 x < 1 $$ Заметим, что условие $\log_9 x > \frac{1}{2}$ автоматически гарантирует выполнение требований ОДЗ: $\log_9 x > 0$ и $x > 0$. 3. Представим числа $\frac{1}{2}$ и $1$ в виде логарифмов по основанию $9$: $$ \frac{1}{2} = \log_9 9^{\frac{1}{2}} = \log_9 3, \quad 1 = \log_9 9 $$ Получаем: $$ \log_9 3 < \log_9 x < \log_9 9 $$ Так как основание $9 > 1$, функция $y = \log_9 x$ является возрастающей, следовательно, знаки неравенства сохраняются: $$ 3 < x < 9 $$ Ответ: $(3; 9)$.