ГДЗ по алгебре 10 класс Шабунин дидактические материалы (Алимов) Базовый и углубленный уровень глава 4 / § 20 / вариант 2 - 31

31. Решим логарифмическое неравенство: $$ \log_{\frac{1}{5}}^2 (x + 3) + 4 \log_{\frac{1}{5}} (x + 3) \leq -4 $$ 1. **Область допустимых значений (ОДЗ):** Выражение, стоящее под знаком логарифма, должно быть строго положительным: $$ x + 3 > 0 \implies x > -3 $$ ОДЗ: $x \in (-3; +\infty)$. 2. **Замена переменной:** Пусть $t = \log_{\frac{1}{5}} (x + 3)$. Тогда неравенство принимает вид: $$ t^2 + 4t \leq -4 $$ Перенесём слагаемое $-4$ в левую часть неравенства с противоположным знаком: $$ t^2 + 4t + 4 \leq 0 $$ Свернём левую часть по формуле квадрата суммы $a^2 + 2ab + b^2 = (a + b)^2$: $$ (t + 2)^2 \leq 0 $$ 3. **Решение неравенства относительно $t$:** Квадрат любого действительного числа неотрицателен, то есть $(t + 2)^2 \geq 0$ при любых значениях $t$. Следовательно, неравенство $(t + 2)^2 \leq 0$ выполняется только в том случае, когда выражение равно нулю: $$ (t + 2)^2 = 0 \implies t + 2 = 0 \implies t = -2 $$ 4. **Обратная замена:** Возвращаемся к переменной $x$: $$ \log_{\frac{1}{5}} (x + 3) = -2 $$ По определению логарифма: $$ x + 3 = \left(\frac{1}{5}\right)^{-2} $$ Так как $\left(\frac{1}{5}\right)^{-2} = 5^2 = 25$, получаем: $$ x + 3 = 25 $$ $$ x = 25 - 3 $$ $$ x = 22 $$ 5. **Проверка ОДЗ:** Число $22 > -3$, следовательно, найденное значение удовлетворяет области допустимых значений. Ответ: $22$.