ГДЗ по алгебре 10 класс Шабунин дидактические материалы (Алимов) Базовый и углубленный уровень глава 4 / § 20 / вариант 2 - 37

37. $\boxed{7}$ Решим неравенство: $$ \log_{x+a} 2 > 0 $$ 1. Найдем область допустимых значений (ОДЗ) неравенства. Основание логарифма должно быть строго положительным и не равным единице: $$ \begin{cases} x + a > 0, \\ x + a \neq 1 \end{cases} \iff \begin{cases} x > -a, \\ x \neq 1 - a \end{cases} $$ 2. Воспользуемся формулой перехода к новому основанию $\log_b c = \dfrac{1}{\log_c b}$: $$ \frac{1}{\log_2 (x+a)} > 0 $$ 3. Дробь с положительным числителем строго больше нуля тогда и только тогда, когда её знаменатель положителен: $$ \log_2 (x+a) > 0 $$ Представим $0$ как $\log_2 1$: $$ \log_2 (x+a) > \log_2 1 $$ Так как основание логарифма $2 > 1$, функция $y = \log_2 t$ возрастает, поэтому знак неравенства сохраняется: $$ x + a > 1 \iff x > 1 - a $$ 4. Сопоставим полученный результат с ОДЗ: Если $x > 1 - a$, то $x + a > 1$, следовательно, условия $x + a > 0$ и $x + a \neq 1$ выполняются автоматически. Таким образом, решением неравенства при любом действительном значении параметра $a$ является интервал: $$ x \in (1 - a; +\infty) $$ Ответ: $x \in (1 - a; +\infty)$ при $a \in \mathbb{R}$.