ГДЗ по алгебре 10 класс Шабунин дидактические материалы (Алимов) Базовый и углубленный уровень глава 4 / § 20 / вариант 2 - 36

36. $\boxed{6}$ Решим неравенство с параметром $a$: $$ \log_{a} x < 3 $$ **1. Область допустимых значений:** По определению логарифма: - подлогарифмическое выражение строго положительно: $x > 0$; - основание логарифма положительно и не равно единице: $a > 0$, $a \neq 1$. Запишем правую часть неравенства в виде логарифма по основанию $a$: $$ 3 = \log_{a} a^3 $$ Неравенство принимает вид: $$ \log_{a} x < \log_{a} a^3 $$ **2. Решение в зависимости от значения основания $a$:** Рассмотрим два случая поведения логарифмической функции: * **Случай 1:** $a > 1$ Функция $y = \log_{a} t$ является строго возрастающей, поэтому при переходе к подлогарифмическим выражениям знак неравенства сохраняется: $$ \begin{cases} x < a^3, \\ x > 0 \end{cases} \implies 0 < x < a^3 $$ Таким образом, $x \in (0; a^3)$. * **Случай 2:** $0 < a < 1$ Функция $y = \log_{a} t$ является строго убывающей, поэтому при переходе к подлогарифмическим выражениям знак неравенства меняется на противоположный: $$ x > a^3 $$ Так как $a > 0$, то $a^3 > 0$, следовательно, условие ОДЗ $x > 0$ выполняется автоматически. Таким образом, $x \in (a^3; +\infty)$. * **Случай 3:** $a \le 0$ или $a = 1$ При данных значениях $a$ выражение $\log_a x$ не имеет смысла, поэтому решений нет. **Ответ:** Если $a > 1$, то $x \in (0; a^3)$; Если $0 < a < 1$, то $x \in (a^3; +\infty)$; Если $a \le 0$ или $a = 1$, то решений нет.