ГДЗ по алгебре 10 класс Шабунин дидактические материалы (Алимов) Базовый и углубленный уровень глава 4 / § 20 / вариант 2 - 29

Решим логарифмическое неравенство: $$ \log_2(2x+15) < \log_2(5x) + \log_2\left(\frac{x}{2}\right) $$ **1. Область допустимых значений (ОДЗ)** Выражения, стоящие под знаком логарифма, должны быть строго положительными: $$ \begin{cases} 2x + 15 > 0 \\ 5x > 0 \\ \dfrac{x}{2} > 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x > -7{,}5 \\ x > 0 \end{cases} \implies x > 0 $$ Таким образом, ОДЗ: $x \in (0; +\infty)$. **2. Преобразование неравенства** Применим свойство суммы логарифмов к правой части неравенства: $$ \log_2(5x) + \log_2\left(\frac{x}{2}\right) = \log_2\left(5x \cdot \frac{x}{2}\right) = \log_2\left(\frac{5x^2}{2}\right) $$ Неравенство принимает вид: $$ \log_2(2x+15) < \log_2\left(\frac{5x^2}{2}\right) $$ **3. Решение неравенства** Так как основание логарифма $2 > 1$, логарифмическая функция возрастает на всей области определения. Перейдем к сравнению подлогарифмических выражений с сохранением знака неравенства: $$ 2x + 15 < \frac{5x^2}{2} $$ Умножим обе части неравенства на $2$: $$ 4x + 30 < 5x^2 $$ $$ 5x^2 - 4x - 30 > 0 $$ Найдем нули квадратного трехчлена $5x^2 - 4x - 30 = 0$: $$ D_1 = (-2)^2 - 5 \cdot (-30) = 4 + 150 = 154 $$ $$ x_{1, 2} = \frac{2 \pm \sqrt{154}}{5} $$ Решением квадратного неравенства являются внешние интервалы относительно корней: $$ x \in \left(-\infty; \frac{2 - \sqrt{154}}{5}\right) \cup \left(\frac{2 + \sqrt{154}}{5}; +\infty\right) $$ **4. Учет ОДЗ** Сравним корни с нулем: - так как $\sqrt{154} > \sqrt{4} = 2$, то $2 - \sqrt{154} < 0$, следовательно, $\dfrac{2 - \sqrt{154}}{5} < 0$; - $\dfrac{2 + \sqrt{154}}{5} > 0$. Пересечем полученное решение с ОДЗ ($x > 0$): $$ x \in \left(\frac{2 + \sqrt{154}}{5}; +\infty\right) $$ Ответ: $\left(\dfrac{2 + \sqrt{154}}{5}; +\infty\right)$