ГДЗ по алгебре 10 класс Шабунин дидактические материалы (Алимов) Базовый и углубленный уровень глава 4 / § 20 / вариант 2 - 28

28. Решим логарифмическое неравенство: $$ \log_{6}(x^2 - 5x) < 2 $$ 1. Найдём область допустимых значений (ОДЗ). Подлогарифмическое выражение должно быть строго больше нуля: $$ x^2 - 5x > 0 $$ $$ x(x - 5) > 0 $$ Применяя метод интервалов, получаем: $$ x \in (-\infty; 0) \cup (5; +\infty) $$ 2. Представим правую часть неравенства в виде логарифма по основанию $6$: $$ 2 = \log_{6} 6^2 = \log_{6} 36 $$ Неравенство принимает вид: $$ \log_{6}(x^2 - 5x) < \log_{6} 36 $$ Так как основание логарифма $6 > 1$, логарифмическая функция возрастает, и знак неравенства сохраняется: $$ x^2 - 5x < 36 $$ $$ x^2 - 5x - 36 < 0 $$ 3. Найдём корни квадратного уравнения $x^2 - 5x - 36 = 0$ с помощью теоремы Виета: $$ \begin{cases} x_1 + x_2 = 5 \\ x_1 \cdot x_2 = -36 \end{cases} \implies x_1 = -4, \quad x_2 = 9 $$ Решением строгого неравенства $x^2 - 5x - 36 < 0$ является интервал между корнями: $$ -4 < x < 9 $$ 4. Найдём пересечение полученного решения с ОДЗ: $$ \begin{cases} x \in (-4; 9) \\ x \in (-\infty; 0) \cup (5; +\infty) \end{cases} $$ Отсюда получаем два интервала: $$ x \in (-4; 0) \cup (5; 9) $$ Ответ: $(-4; 0) \cup (5; 9)$