ГДЗ по алгебре 10 класс Шабунин дидактические материалы (Алимов) Базовый и углубленный уровень глава 4 / § 20 / вариант 2 - 30

**30.** Решим логарифмическое неравенство: $$ \log_{\frac{1}{4}}^2 x + 2 \log_{\frac{1}{4}} x < 3 $$ 1. Область допустимых значений (ОДЗ): $$ x > 0 $$ 2. Введём замену переменной: пусть $t = \log_{\frac{1}{4}} x$. Тогда неравенство принимает вид: $$ t^2 + 2t < 3 $$ $$ t^2 + 2t - 3 < 0 $$ 3. Найдём корни квадратного трёхчлена $t^2 + 2t - 3 = 0$ по теореме Виета: $$ \begin{cases} t_1 + t_2 = -2 \\ t_1 \cdot t_2 = -3 \end{cases} \implies t_1 = -3, \quad t_2 = 1 $$ Решением строгого неравенства $t^2 + 2t - 3 < 0$ является интервал: $$ -3 < t < 1 $$ 4. Выполним обратную замену: $$ -3 < \log_{\frac{1}{4}} x < 1 $$ Представим числа $-3$ и $1$ в виде логарифмов по основанию $\frac{1}{4}$: * $-3 = \log_{\frac{1}{4}} \left(\frac{1}{4}\right)^{-3} = \log_{\frac{1}{4}} (4^3) = \log_{\frac{1}{4}} 64$ * $1 = \log_{\frac{1}{4}} \left(\frac{1}{4}\right)^1 = \log_{\frac{1}{4}} \frac{1}{4}$ Получаем: $$ \log_{\frac{1}{4}} 64 < \log_{\frac{1}{4}} x < \log_{\frac{1}{4}} \frac{1}{4} $$ Так как основание логарифма $0 < \frac{1}{4} < 1$, логарифмическая функция убывает, поэтому знаки неравенства меняются на противоположные: $$ \frac{1}{4} < x < 64 $$ 5. С учётом ОДЗ ($x > 0$): $$ x \in \left(\frac{1}{4}; 64\right) $$ Ответ: $\left(\frac{1}{4}; 64\right)$