ГДЗ по алгебре 10 класс Шабунин дидактические материалы (Алимов) Базовый и углубленный уровень глава 4 / § 20 / вариант 2 - 27

Решим неравенство: $$ \log_{\frac{2}{3}}(x^2 + x - 11) < 0 $$ Представим $0$ в виде логарифма по основанию $\frac{2}{3}$: $$ 0 = \log_{\frac{2}{3}} 1 $$ Неравенство принимает вид: $$ \log_{\frac{2}{3}}(x^2 + x - 11) < \log_{\frac{2}{3}} 1 $$ Так как основание логарифма удовлетворяет условию $0 < \frac{2}{3} < 1$, логарифмическая функция является убывающей. При переходе к подлогарифмическим выражениям знак неравенства меняется на противоположный: $$ x^2 + x - 11 > 1 $$ Заметим, что условие области допустимых значений (ОДЗ) $x^2 + x - 11 > 0$ выполняется автоматически, так как $x^2 + x - 11 > 1 > 0$. Перенесем $1$ в левую часть неравенства: $$ x^2 + x - 12 > 0 $$ Найдем корни квадратного трехчлена $x^2 + x - 12$: $$ x^2 + x - 12 = 0 $$ По теореме Виета: $$ \begin{cases} x_1 + x_2 = -1 \\ x_1 \cdot x_2 = -12 \end{cases} \implies x_1 = -4, \quad x_2 = 3 $$ Разложим левую часть на множители: $$ (x + 4)(x - 3) > 0 $$ Решим полученное неравенство методом интервалов: знак выражения строго положителен вне отрезка между корнями. $$ x \in (-\infty; -4) \cup (3; +\infty) $$ Ответ: $(-\infty; -4) \cup (3; +\infty)$