ГДЗ по алгебре 10 класс Шабунин дидактические материалы (Алимов) Базовый и углубленный уровень глава 4 / § 20 / вариант 2 - 22

22. 5) Решите неравенство: $$ \log_{0,6}(x+9) \geq \log_{0,6}(x+3)^2 $$ **Решение:** 1. Найдем область допустимых значений (ОДЗ) неравенства. Выражения под знаком логарифма должны быть строго положительными: $$ \begin{cases} x + 9 > 0, \\ (x + 3)^2 > 0 \end{cases} $$ $$ \begin{cases} x > -9, \\ x + 3 \neq 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x > -9, \\ x \neq -3 \end{cases} $$ Таким образом, ОДЗ: $x \in (-9; -3) \cup (-3; +\infty)$. 2. Так как основание логарифма $0 < 0,6 < 1$, функция $y = \log_{0,6} t$ является убывающей. При переходе к подлогарифмическим выражениям знак неравенства меняется на противоположный: $$ x + 9 \leq (x + 3)^2 $$ Раскроем скобки в правой части: $$ x + 9 \leq x^2 + 6x + 9 $$ Перенесем все слагаемые в правую часть: $$ x^2 + 6x + 9 - x - 9 \geq 0 $$ $$ x^2 + 5x \geq 0 $$ $$ x(x + 5) \geq 0 $$ Решим полученное неравенство методом интервалов: Нули функции: $x = -5$ и $x = 0$. $$ x \in (-\infty; -5] \cup [0; +\infty) $$ 3. С учетом ОДзи объединим полученные условия: $$ \begin{cases} x \in (-\infty; -5] \cup [0; +\infty), \\ x > -9, \\ x \neq -3 \end{cases} $$ Пересекая промежутки, получаем: - на промежутке $(-\infty; -5]$ с условием $x > -9$: интервал $(-9; -5]$ (точка $x = -3$ в него не входит); - на промежутке $[0; +\infty)$ с условием $x > -9$: интервал $[0; +\infty)$ (точка $x = -3$ в него не входит). Следовательно, решением неравенства является $x \in (-9; -5] \cup [0; +\infty)$. **Ответ:** $(-9; -5] \cup [0; +\infty)$