ГДЗ по алгебре 10 класс Шабунин дидактические материалы (Алимов) Базовый и углубленный уровень глава 4 / § 20 / вариант 2 - 20

20. Решим логарифмическое неравенство: $$ \log_5 (2 + x) \ge 2 \log_5 x $$ 1. Найдём область допустимых значений (ОДЗ) неравенства. Выражения, стоящие под знаком логарифма, должны быть строго положительными: $$ \begin{cases} 2 + x > 0 \\ x > 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x > -2 \\ x > 0 \end{cases} \implies x > 0 $$ Таким образом, ОДЗ: $x \in (0; +\infty)$. 2. Преобразуем правую часть неравенства, применив свойство степени логарифма $n \log_a b = \log_a b^n$: $$ \log_5 (2 + x) \ge \log_5 x^2 $$ 3. Так как основание логарифма $5 > 1$, то логарифмическая функция возрастает на всей своей области определения, и при переходе к подлогарифмическим выражениям знак неравенства сохраняется: $$ 2 + x \ge x^2 $$ Перенесём все слагаемые в правую часть: $$ x^2 - x - 2 \le 0 $$ 4. Найдём корни уравнения $x^2 - x - 2 = 0$ по теореме Виета: $$ \begin{cases} x_1 + x_2 = 1 \\ x_1 \cdot x_2 = -2 \end{cases} \implies x_1 = -1, \quad x_2 = 2 $$ Разложим трёхчлен на множители: $$ (x + 1)(x - 2) \le 0 $$ Решением данного квадратичного неравенства методом интервалов является отрезок: $$ x \in [-1; 2] $$ 5. С учётом ОДЗ ($x > 0$) пересечём полученные промежутки: $$ \begin{cases} -1 \le x \le 2 \\ x > 0 \end{cases} \implies 0 < x \le 2 $$ Ответ: $(0; 2]$.