ГДЗ по алгебре 10 класс Шабунин дидактические материалы (Алимов) Базовый и углубленный уровень глава 4 / § 20 / вариант 2 - 21

21. Решим неравенство: $$ \log_{5}(2+x) \leqslant 2\log_{5}x $$ 1. Найдём область допустимых значений (ОДЗ) неравенства: $$ \begin{cases} 2 + x > 0, \\ x > 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x > -2, \\ x > 0 \end{cases} \implies x > 0 $$ 2. Преобразуем правую часть неравенства, используя свойство логарифма $r \log_{a} b = \log_{a} b^r$: $$ \log_{5}(2+x) \leqslant \log_{5}x^2 $$ 3. Так как основание логарифма $5 > 1$, логарифмическая функция является возрастающей. Знак неравенства для подлогарифмических выражений сохраняется: $$ 2 + x \leqslant x^2 $$ $$ x^2 - x - 2 \geqslant 0 $$ 4. Найдём нули квадратного трёхчлена $x^2 - x - 2 = 0$: По теореме Виета: $$ \begin{cases} x_1 + x_2 = 1, \\ x_1 \cdot x_2 = -2 \end{cases} \implies x_1 = 2, \quad x_2 = -1 $$ Разложим на множители: $$ (x - 2)(x + 1) \geqslant 0 $$ Решением этого квадратного неравенства являются промежутки: $$ x \in (-\infty; -1] \cup [2; +\infty) $$ 5. С учётом ОДЗ ($x > 0$) получаем: $$ \begin{cases} x \in (-\infty; -1] \cup [2; +\infty), \\ x > 0 \end{cases} \implies x \in [2; +\infty) $$ Ответ: $[2; +\infty)$