ГДЗ по алгебре 10 класс Шабунин дидактические материалы (Алимов) Базовый и углубленный уровень глава 4 / § 20 / вариант 2 - 23

23.[5] Решим логарифмическое неравенство: $$ \log_{0,6}(x+9)\leqslant\log_{0,6}(x+3)^2 $$ 1. Найдём область допустимых значений (ОДЗ). Выражения под знаком логарифма должны быть строго положительными: $$ \begin{cases} x + 9 > 0, \\ (x + 3)^2 > 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x > -9, \\ x \neq -3 \end{cases} $$ Таким образом, ОДЗ: $x \in (-9; -3) \cup (-3; +\infty)$. 2. Так как основание логарифма $0 < 0,6 < 1$, логарифмическая функция является убывающей. При переходе к подлогарифмическим выражениям знак неравенства меняется на противоположный: $$ x + 9 \geqslant (x + 3)^2 $$ Раскроем скобки в правой части: $$ x + 9 \geqslant x^2 + 6x + 9 $$ Перенесём все слагаемые в одну сторону: $$ x^2 + 6x + 9 - x - 9 \leqslant 0 $$ $$ x^2 + 5x \leqslant 0 $$ $$ x(x + 5) \leqslant 0 $$ Корни уравнения $x(x + 5) = 0$: $x_1 = -5$, $x_2 = 0$. Решением квадратного неравенства методом интервалов является отрезок: $$ x \in [-5; 0] $$ 3. С учётом ОДЗ необходимо исключить точку $x = -3$, входящую в отрезок $[-5; 0]$: $$ x \in [-5; -3) \cup (-3; 0] $$ Ответ: $[-5; -3) \cup (-3; 0]$