ГДЗ по алгебре 10 класс Шабунин дидактические материалы (Алимов) Базовый и углубленный уровень глава 4 / § 20 / вариант 2 - 24

24. Решим неравенство: $$ \log_{0,1}(5x-4) \leqslant 2\log_{0,1}x $$ 1. Найдём область допустимых значений (ОДЗ) неравенства: $$ \begin{cases} 5x - 4 > 0, \\ x > 0 \end{cases} \iff \begin{cases} x > 0,8, \\ x > 0 \end{cases} \iff x > 0,8 $$ 2. Преобразуем правую часть неравенства по свойству степени логарифма: $$ \log_{0,1}(5x-4) \leqslant \log_{0,1}x^2 $$ 3. Так как основание логарифма $0 < 0,1 < 1$, функция $y = \log_{0,1}t$ убывает на всей области определения. При переходе к подлогарифмическим выражениям знак неравенства меняется на противоположный: $$ 5x - 4 \geqslant x^2 $$ $$ x^2 - 5x + 4 \leqslant 0 $$ 4. Найдём корни квадратного трёхчлена $x^2 - 5x + 4 = 0$ по теореме Виета: $$ \begin{cases} x_1 + x_2 = 5, \\ x_1 \cdot x_2 = 4 \end{cases} \implies x_1 = 1, \quad x_2 = 4 $$ Решением квадратного неравенства $x^2 - 5x + 4 \leqslant 0$ является отрезок: $$ 1 \leqslant x \leqslant 4 $$ 5. С учётом ОДЗ ($x > 0,8$): $$ \begin{cases} 1 \leqslant x \leqslant 4, \\ x > 0,8 \end{cases} \implies x \in [1; 4] $$ Ответ: $[1; 4]$.