ГДЗ по алгебре 10 класс Шабунин дидактические материалы (Алимов) Базовый и углубленный уровень глава 4 / § 20 / вариант 2 - 25

**25.** Решим логарифмическое неравенство: $$ \log_{7}(x-3,5) + \log_{7}(x-2) < 1 $$ 1. Найдем область допустимых значений (ОДЗ): $$ \begin{cases} x - 3,5 > 0, \\ x - 2 > 0 \end{cases} \iff \begin{cases} x > 3,5, \\ x > 2 \end{cases} \iff x > 3,5 $$ 2. Преобразуем левую часть неравенства, используя свойство суммы логарифмов $\log_a b + \log_a c = \log_a (bc)$, а число $1$ в правой части запишем как $\log_7 7$: $$ \log_{7}((x - 3,5)(x - 2)) < \log_{7} 7 $$ Так как основание логарифма $7 > 1$, то функция $y = \log_7 t$ является возрастающей. Перейдем к подлогарифмическим выражениям, сохраняя знак неравенства: $$ (x - 3,5)(x - 2) < 7 $$ 3. Раскроем скобки и решим полученное квадратное неравенство: $$ x^2 - 2x - 3,5x + 7 < 7 $$ $$ x^2 - 5,5x < 0 $$ $$ x(x - 5,5) < 0 $$ Корни уравнения $x(x - 5,5) = 0$: $x_1 = 0$, $x_2 = 5,5$. Решением неравенства является интервал: $$ 0 < x < 5,5 $$ 4. Учтем ОДЗ, найдя пересечение полученного интервала и условия $x > 3,5$: $$ \begin{cases} 0 < x < 5,5, \\ x > 3,5 \end{cases} \iff 3,5 < x < 5,5 $$ Ответ: $(3,5; 5,5)$