ГДЗ по алгебре 10 класс Шабунин дидактические материалы (Алимов) Базовый и углубленный уровень глава 4 / § 19 / вариант 1 - 25

**25.** Решим систему уравнений: $$ \begin{cases} \log_3 x - \log_3 y = 2, \\ 2y^2 + x - 11 = 0. \end{cases} $$ 1. Область допустимых значений (ОДЗ): Выражения, стоящие под знаком логарифма, должны быть строго положительными: $$ \begin{cases} x > 0, \\ y > 0. \end{cases} $$ 2. Преобразуем первое уравнение системы, используя свойство разности логарифмов $\log_a b - \log_a c = \log_a \left(\frac{b}{c}\right)$: $$ \log_3 \left(\frac{x}{y}\right) = 2 $$ По определению логарифма: $$ \frac{x}{y} = 3^2 $$ $$ \frac{x}{y} = 9 \implies x = 9y $$ 3. Подставим выражение $x = 9y$ во второе уравнение системы: $$ 2y^2 + 9y - 11 = 0 $$ 4. Решим полученное квадратное уравнение относительно $y$: $$ D = 9^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-11) = 81 + 88 = 169 = 13^2 $$ $$ y_1 = \frac{-9 + 13}{2 \cdot 2} = \frac{4}{4} = 1 $$ $$ y_2 = \frac{-9 - 13}{2 \cdot 2} = -\frac{22}{4} = -5{,}5 $$ 5. С учетом ОДЗ ($y > 0$): Корень $y_2 = -5{,}5$ не удовлетворяет ОДЗ. Следовательно, подходит только $y = 1$. 6. Найдем соответствующее значение $x$: $$ x = 9 \cdot 1 = 9 $$ Значение $x = 9 > 0$ удовлетворяет ОДЗ. Ответ: $(9; 1)$