ГДЗ по алгебре 10 класс Шабунин дидактические материалы (Алимов) Базовый и углубленный уровень глава 4 / § 19 / вариант 1 - 27

Решим систему уравнений: $$ \begin{cases} \log_2(x^2 + y^2) = 7, \\ \log_2 x + 2 \log_4 y = 6. \end{cases} $$ 1. Найдем область допустимых значений (ОДЗ): $$ \begin{cases} x > 0, \\ y > 0, \\ x^2 + y^2 > 0. \end{cases} $$ Так как $x > 0$ и $y > 0$, условие $x^2 + y^2 > 0$ выполняется автоматически. Таким образом, ОДЗ: $x > 0$, $y > 0$. 2. Преобразуем первое уравнение системы по определению логарифма: $$ x^2 + y^2 = 2^7 $$ $$ x^2 + y^2 = 128 $$ 3. Преобразуем второе уравнение системы. Используя формулу перехода к новому основанию $\log_{a^k} b = \frac{1}{k}\log_a b$, получим: $$ 2 \log_4 y = 2 \log_{2^2} y = 2 \cdot \frac{1}{2} \log_2 y = \log_2 y $$ Подставим это выражение во второе уравнение: $$ \log_2 x + \log_2 y = 6 $$ Используя свойство суммы логарифмов: $$ \log_2(xy) = 6 $$ По определению логарифма: $$ xy = 2^6 $$ $$ xy = 64 $$ 4. Запишем получившуюся систему алгебраических уравнений: $$ \begin{cases} x^2 + y^2 = 128, \\ xy = 64. \end{cases} $$ Используем формулу квадрата разности: $$ (x - y)^2 = x^2 - 2xy + y^2 = (x^2 + y^2) - 2xy $$ $$ (x - y)^2 = 128 - 2 \cdot 64 = 128 - 128 = 0 $$ Отсюда следует: $$ x - y = 0 \implies x = y $$ Подставим $x = y$ во второе уравнение системы: $$ x \cdot x = 64 $$ $$ x^2 = 64 $$ Так как по ОДЗ $x > 0$, получаем: $$ x = 8 $$ Тогда: $$ y = 8 $$ Найденные значения удовлетворяют ОДЗ: $8 > 0$ и $8 > 0$. Ответ: $(8; 8)$.