ГДЗ по алгебре 10 класс Шабунин дидактические материалы (Алимов) Базовый и углубленный уровень глава 4 / § 19 / вариант 1 - 23

23. Решим уравнение: $$ 2 \log_{2} x = 3 \log_{3} x $$ 1. Область допустимых значений (ОДЗ): $$ x > 0 $$ 2. Используем формулу перехода к новому основанию логарифма $\log_{a} b = \frac{\log_{c} b}{\log_{c} a}$. Перейдём в правой части уравнения к основанию $2$: $$ \log_{3} x = \frac{\log_{2} x}{\log_{2} 3} $$ Подставим это выражение в уравнение: $$ 2 \log_{2} x = \frac{3 \log_{2} x}{\log_{2} 3} $$ 3. Перенесём все слагаемые в левую часть: $$ 2 \log_{2} x - \frac{3}{\log_{2} 3} \log_{2} x = 0 $$ Вынесем общий множитель $\log_{2} x$ за скобки: $$ \log_{2} x \cdot \left(2 - \frac{3}{\log_{2} 3}\right) = 0 $$ Так как $\frac{1}{\log_{2} 3} = \log_{3} 2$, выражение в скобках можно записать в виде: $$ 2 - 3 \log_{3} 2 = \log_{3} 3^2 - \log_{3} 2^3 = \log_{3} 9 - \log_{3} 8 = \log_{3} \frac{9}{8} $$ Поскольку $\log_{3} \frac{9}{8} \ne 0$, разделим обе части уравнения на это число: $$ \log_{2} x = 0 $$ 4. По определению логарифма: $$ x = 2^0 $$ $$ x = 1 $$ Число $1$ удовлетворяет ОДЗ ($1 > 0$). Ответ: $1$