ГДЗ по алгебре 10 класс Шабунин дидактические материалы (Алимов) Базовый и углубленный уровень глава 4 / § 19 / вариант 1 - 22

22. 4) Решим уравнение: $$ \log_{2}^{2}(1-x)-2\log_{2}(1-x)=3 $$ 1. Найдем область допустимых значений (ОДЗ): $$ 1-x > 0 \implies x < 1 $$ 2. Введем замену переменной. Пусть $t = \log_{2}(1-x)$. Тогда исходное уравнение примет вид квадратного уравнения относительно $t$: $$ t^2 - 2t - 3 = 0 $$ 3. Найдем корни квадратного уравнения с помощью дискриминанта: $$ D = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-3) = 4 + 12 = 16 = 4^2 $$ $$ t_1 = \frac{2 + 4}{2} = 3 $$ $$ t_2 = \frac{2 - 4}{2} = -1 $$ 4. Вернемся к исходной переменной: 1) При $t = 3$: $$ \log_{2}(1-x) = 3 $$ По определению логарифма: $$ 1 - x = 2^3 $$ $$ 1 - x = 8 $$ $$ x_1 = -7 $$ 2) При $t = -1$: $$ \log_{2}(1-x) = -1 $$ По определению логарифма: $$ 1 - x = 2^{-1} $$ $$ 1 - x = \frac{1}{2} $$ $$ x_2 = 1 - \frac{1}{2} = 0{,}5 $$ 5. Проверим полученные значения по ОДЗ ($x < 1$): * $x_1 = -7 < 1$ — условию удовлетворяет; * $x_2 = 0{,}5 < 1$ — условию удовлетворяет. Ответ: $-7$; $0{,}5$.