ГДЗ по алгебре 10 класс Шабунин дидактические материалы (Алимов) Базовый и углубленный уровень глава 4 / § 19 / вариант 1 - 24

24. 6) Решим логарифмическое уравнение: $$ 2\log_{2}x - 5\log_{x}2 = 3 $$ 1. Найдем область допустимых значений (ОДЗ): $$ \begin{cases} x > 0, \\ x \neq 1. \end{cases} $$ 2. Используем формулу перехода к новому основанию $\log_{a}b = \frac{1}{\log_{b}a}$: $$ \log_{x}2 = \frac{1}{\log_{2}x} $$ Подставим данное выражение в уравнение: $$ 2\log_{2}x - \frac{5}{\log_{2}x} = 3 $$ 3. Введем замену переменной: пусть $t = \log_{2}x$, причем $t \neq 0$. Получаем уравнение: $$ 2t - \frac{5}{t} = 3 $$ Умножим обе части уравнения на $t \neq 0$: $$ 2t^2 - 5 = 3t $$ $$ 2t^2 - 3t - 5 = 0 $$ 4. Найдем корни квадратного уравнения с помощью дискриминанта: $$ D = (-3)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-5) = 9 + 40 = 49 = 7^2 $$ $$ t_1 = \frac{3 + 7}{2 \cdot 2} = \frac{10}{4} = \frac{5}{2} $$ $$ t_2 = \frac{3 - 7}{2 \cdot 2} = \frac{-4}{4} = -1 $$ 5. Вернемся к исходной переменной: 1) При $t = \frac{5}{2}$: $$ \log_{2}x = \frac{5}{2} $$ $$ x = 2^{\frac{5}{2}} = \sqrt{2^5} = \sqrt{32} = 4\sqrt{2} $$ 2) При $t = -1$: $$ \log_{2}x = -1 $$ $$ x = 2^{-1} = \frac{1}{2} $$ 6. Оба корня удовлетворяют условиям ОДЗ ($x > 0$, $x \neq 1$). Ответ: $\frac{1}{2}; \, 4\sqrt{2}$ (или $0{,}5; \, 2^{2{,}5}$).