ГДЗ по алгебре 10 класс Шабунин дидактические материалы (Алимов) Базовый и углубленный уровень глава 4 / § 19 / вариант 1 - 28

Решим систему уравнений: $$ \left\{ \begin{array}{l} 2 \log_{3} x + \log_{\sqrt{3}} y = 2, \\ \log_{8}(x - y - 1)^3 + \log_{2}(x - y + 1) = \log_{2} 3. \end{array} \right. $$ Найдем область допустимых значений (ОДЗ) системы: $$ \left\{ \begin{array}{l} x > 0, \\ y > 0, \\ (x - y - 1)^3 > 0, \\ x - y + 1 > 0; \end{array} \right. \iff \left\{ \begin{array}{l} x > 0, \\ y > 0, \\ x - y - 1 > 0, \\ x - y + 1 > 0; \end{array} \right. \iff \left\{ \begin{array}{l} x > 0, \\ y > 0, \\ x - y > 1. \end{array} \right. $$ Преобразуем первое уравнение системы, используя свойство логарифма $\log_{a^k} b = \frac{1}{k} \log_a b$: $$ \log_{\sqrt{3}} y = \log_{3^{\frac{1}{2}}} y = \frac{1}{\frac{1}{2}} \log_3 y = 2\log_3 y. $$ Тогда первое уравнение принимает вид: $$ 2\log_3 x + 2\log_3 y = 2. $$ Разделим обе части уравнения на 2: $$ \log_3 x + \log_3 y = 1. $$ Применив свойство суммы логарифмов $\log_a b + \log_a c = \log_a (bc)$: $$ \log_3 (xy) = 1 \implies xy = 3^1 \implies xy = 3. $$ Преобразуем второе уравнение системы. Учитывая, что $8 = 2^3$ и по ОДЗ $x - y - 1 > 0$: $$ \log_8 (x - y - 1)^3 = \log_{2^3} (x - y - 1)^3 = \frac{3}{3} \log_2 (x - y - 1) = \log_2 (x - y - 1). $$ Тогда второе уравнение принимает вид: $$ \log_2 (x - y - 1) + \log_2 (x - y + 1) = \log_2 3. $$ Используя свойство суммы логарифмов и формулу разности квадратов: $$ \log_2 ((x - y - 1)(x - y + 1)) = \log_2 3; $$ $$ (x - y - 1)(x - y + 1) = 3; $$ $$ ((x - y) - 1)((x - y) + 1) = 3; $$ $$ (x - y)^2 - 1 = 3; $$ $$ (x - y)^2 = 4. $$ Отсюда получаем два случая: $x - y = 2$ или $x - y = -2$. По ОДЗ должно выполняться неравенство $x - y > 1$, следовательно, подходит только: $$ x - y = 2. $$ Составим и решим систему из полученных уравнений: $$ \left\{ \begin{array}{l} xy = 3, \\ x - y = 2. \end{array} \right. $$ Выразим $x$ из второго уравнения: $$ x = y + 2. $$ Подставим полученное выражение в первое уравнение: $$ (y + 2)y = 3; $$ $$ y^2 + 2y - 3 = 0. $$ По теореме Виета: $y_1 = 1$, $y_2 = -3$. Так как по ОДЗ $y > 0$, значение $y = -3$ не является решением. Следовательно, $y = 1$. Найдем соответствующее значение $x$: $$ x = 1 + 2 = 3. $$ Проверим найденную пару $(3; 1)$ на соответствие ОДЗ: $x = 3 > 0$, $y = 1 > 0$, $x - y = 3 - 1 = 2 > 1$ — условия выполняются. Ответ: $(3; 1)$.