ГДЗ по алгебре 10 класс Шабунин дидактические материалы (Алимов) Базовый и углубленный уровень глава 4 / § 17 / вариант 2 - 16

16. Решим уравнение: $$ 4 \log_{7} x^{5} + 2 \log_{\frac{1}{7}} x = 9 $$ Область допустимых значений (ОДЗ): Выражения под знаками логарифмов должны быть строго положительными: $$ \begin{cases} x^5 > 0, \\ x > 0 \end{cases} \iff x > 0 $$ Таким образом, ОДЗ: $x \in (0; +\infty)$. Преобразуем слагаемые в левой части уравнения, используя свойства логарифмов при $x > 0$: 1) По свойству логарифма степени $\log_a b^k = k \log_a b$: $$ 4 \log_{7} x^{5} = 4 \cdot 5 \log_{7} x = 20 \log_{7} x $$ 2) По свойству основания логарифма $\log_{a^k} b = \frac{1}{k} \log_a b$: $$ 2 \log_{\frac{1}{7}} x = 2 \log_{7^{-1}} x = -2 \log_{7} x $$ Подставим полученные выражения в исходное уравнение: $$ 20 \log_{7} x - 2 \log_{7} x = 9 $$ Приведем подобные слагаемые: $$ 18 \log_{7} x = 9 $$ Разделим обе части уравнения на 18: $$ \log_{7} x = \frac{9}{18} $$ $$ \log_{7} x = \frac{1}{2} $$ По определению логарифма: $$ x = 7^{\frac{1}{2}} $$ $$ x = \sqrt{7} $$ Значение $x = \sqrt{7}$ удовлетворяет ОДЗ ($ \sqrt{7} > 0 $). Ответ: $\sqrt{7}$