ГДЗ по алгебре 10 класс Шабунин дидактические материалы (Алимов) Базовый и углубленный уровень глава 4 / § 17 / вариант 2 - 17

Решим логарифмическое уравнение: $$ 4 \log_{9} x - \log_{27} x = \frac{2}{3} $$ 1. Область допустимых значений (ОДЗ): Под знаком логарифма должно стоять строго положительное выражение: $$ x > 0 $$ 2. Приведём логарифмы к основанию $3$, используя формулу перехода $\log_{a^k} b = \frac{1}{k}\log_a b$: $$ \log_9 x = \log_{3^2} x = \frac{1}{2}\log_3 x $$ $$ \log_{27} x = \log_{3^3} x = \frac{1}{3}\log_3 x $$ 3. Подставим полученные выражения в исходное уравнение: $$ 4 \cdot \frac{1}{2}\log_3 x - \frac{1}{3}\log_3 x = \frac{2}{3} $$ $$ 2\log_3 x - \frac{1}{3}\log_3 x = \frac{2}{3} $$ 4. Приведём подобные слагаемые в левой части уравнения: $$ \left(2 - \frac{1}{3}\right)\log_3 x = \frac{2}{3} $$ $$ \frac{5}{3}\log_3 x = \frac{2}{3} $$ 5. Умножим обе части уравнения на $3$: $$ 5\log_3 x = 2 $$ $$ \log_3 x = \frac{2}{5} $$ 6. По определению логарифма найдём $x$: $$ x = 3^{\frac{2}{5}} = \sqrt[5]{3^2} = \sqrt[5]{9} $$ 7. Проверим соответствие ОДЗ: Значение $\sqrt[5]{9} > 0$, следовательно, найденный корень удовлетворяет ОДЗ. Ответ: $\sqrt[5]{9}$ (или $3^{\frac{2}{5}}$).