ГДЗ по алгебре 10 класс Шабунин дидактические материалы (Алимов) Базовый и углубленный уровень глава 4 / § 17 / вариант 2 - 15

15. Дано уравнение: $$ 3 \log_{2} x = 6 \log_{8} 9 - 2 \log_{2} 3 $$ 1. Область допустимых значений (ОДЗ): Выражение под знаком логарифма должно быть строго больше нуля: $$ x > 0 $$ 2. Преобразуем слагаемое $6 \log_{8} 9$ в правой части уравнения, приведя логарифм к основанию $2$: $$ \log_{8} 9 = \log_{2^3} (3^2) = \frac{2}{3} \log_{2} 3 $$ Тогда: $$ 6 \log_{8} 9 = 6 \cdot \frac{2}{3} \log_{2} 3 = 4 \log_{2} 3 $$ 3. Упростим правую часть уравнения: $$ 4 \log_{2} 3 - 2 \log_{2} 3 = 2 \log_{2} 3 $$ 4. Исходное уравнение принимает вид: $$ 3 \log_{2} x = 2 \log_{2} 3 $$ Используя свойство логарифма степени $k \log_a b = \log_a (b^k)$, внесём числовые множители в показатели степеней аргументов: $$ \log_{2} (x^3) = \log_{2} (3^2) $$ $$ \log_{2} (x^3) = \log_{2} 9 $$ Так как основания логарифмов равны, приравняем подлогарифмические выражения: $$ x^3 = 9 $$ $$ x = \sqrt[3]{9} $$ 5. Проверка ОДЗ: Значение $x = \sqrt[3]{9} > 0$, следовательно, найденный корень удовлетворяет ОДЗ. Ответ: $\sqrt[3]{9}$