ГДЗ по алгебре 10 класс Шабунин дидактические материалы (Алимов) Базовый и углубленный уровень глава 4 / § 17 / вариант 2 - 19

19. Решим уравнение: $$ \log_{0,5} x \cdot \log_5 x = 9 \log_5 0,5 $$ **1. Область допустимых значений (ОДЗ):** Выражение под знаком логарифма должно быть строго положительным: $$ x > 0 $$ **2. Преобразование уравнения:** Перейдем в первом множителе к основанию $5$, воспользовавшись формулой перехода к новому основанию $\log_a b = \frac{\log_c b}{\log_c a}$: $$ \log_{0,5} x = \frac{\log_5 x}{\log_5 0,5} $$ Подставим это выражение в исходное уравнение: $$ \frac{\log_5 x}{\log_5 0,5} \cdot \log_5 x = 9 \log_5 0,5 $$ $$ \frac{(\log_5 x)^2}{\log_5 0,5} = 9 \log_5 0,5 $$ Так как $0,5 \neq 1$, то $\log_5 0,5 \neq 0$. Умножим обе части уравнения на $\log_5 0,5$: $$ (\log_5 x)^2 = 9 (\log_5 0,5)^2 $$ **3. Нахождение корней:** Извлечем квадратный корень из обеих частей уравнения: $$ \log_5 x = 3 \log_5 0,5 \quad \text{или} \quad \log_5 x = -3 \log_5 0,5 $$ Рассмотрим каждый случай отдельно: 1) $\log_5 x = 3 \log_5 0,5$ Используя свойство степени логарифма $k \log_a b = \log_a (b^k)$: $$ \log_5 x = \log_5 (0,5^3) $$ $$ x = 0,5^3 $$ $$ x = \left(\frac{1}{2}\right)^3 = \frac{1}{8} = 0,125 $$ 2) $\log_5 x = -3 \log_5 0,5$ $$ \log_5 x = \log_5 (0,5^{-3}) $$ $$ x = (0,5)^{-3} $$ $$ x = \left(\frac{1}{2}\right)^{-3} = 2^3 = 8 $$ **4. Проверка ОДЗ:** Оба найденных значения удовлетворяют условию $x > 0$: - $x_1 = \frac{1}{8} > 0$; - $x_2 = 8 > 0$. Ответ: $0,125; \; 8$ (или $\frac{1}{8}; \; 8$).