ГДЗ по алгебре 10 класс Шабунин дидактические материалы (Алимов) Базовый и углубленный уровень глава 4 / § 17 / вариант 2 - 18

18. Решим уравнение: $$ 5 \log_{3} x + \log_{\sqrt{3}} x + \log_{\sqrt[3]{3}} x = 18. $$ 1. Область допустимых значений (ОДЗ): под знаком логарифма должно находиться строго положительное число, поэтому: $$ x > 0. $$ 2. Приведём все логарифмы к основанию $3$, используя свойство логарифма $\log_{a^p} b = \dfrac{1}{p}\log_{a} b$: - $\log_{\sqrt{3}} x = \log_{3^{\frac{1}{2}}} x = \dfrac{1}{\frac{1}{2}} \log_{3} x = 2\log_{3} x$; - $\log_{\sqrt[3]{3}} x = \log_{3^{\frac{1}{3}}} x = \dfrac{1}{\frac{1}{3}} \log_{3} x = 3\log_{3} x$. 3. Подставим полученные выражения в исходное уравнение: $$ 5\log_{3} x + 2\log_{3} x + 3\log_{3} x = 18. $$ 4. Приведём подобные слагаемые: $$ (5 + 2 + 3)\log_{3} x = 18, $$ $$ 10\log_{3} x = 18. $$ 5. Разделим обе части уравнения на $10$: $$ \log_{3} x = \frac{18}{10}, $$ $$ \log_{3} x = \frac{9}{5}. $$ 6. По определению логарифма: $$ x = 3^{\frac{9}{5}} = \sqrt[5]{3^9} = \sqrt[5]{3^5 \cdot 3^4} = 3\sqrt[5]{81}. $$ Значение $x = 3\sqrt[5]{81} > 0$, следовательно, корень удовлетворяет ОДЗ. Ответ: $3^{\frac{9}{5}}$ (или $3\sqrt[5]{81}$).