ГДЗ по алгебре 10 класс Шабунин дидактические материалы (Алимов) Базовый и углубленный уровень повторение курса алгебры 7-9 классов / метод интервалов / вариант 1 - 1

1. Решим неравенство методом интервалов: $$ (x - 1)(x - 3)(x + 2) > 0 $$ Рассмотрим функцию $f(x) = (x - 1)(x - 3)(x + 2)$. Найдем нули функции: $$ (x - 1)(x - 3)(x + 2) = 0 $$ $$ x - 1 = 0 \implies x_1 = 1 $$ $$ x - 3 = 0 \implies x_2 = 3 $$ $$ x + 2 = 0 \implies x_3 = -2 $$ Нанесем нули функции на числовую прямую. Так как неравенство строгое, точки $-2$, $1$ и $3$ выколотые. Они делят числовую прямую на четыре интервала: $(-\infty; -2)$, $(-2; 1)$, $(1; 3)$ и $(3; +\infty)$. Определим знак функции $f(x)$ на каждом из полученных интервалов: * для интервала $(3; +\infty)$ возьмем $x = 4$: $f(4) = (4 - 1)(4 - 3)(4 + 2) = 3 \cdot 1 \cdot 6 = 18 > 0$ (знак «$+$»); * для интервала $(1; 3)$ возьмем $x = 2$: $f(2) = (2 - 1)(2 - 3)(2 + 2) = 1 \cdot (-1) \cdot 4 = -4 < 0$ (знак «$-$»); * для интервала $(-2; 1)$ возьмем $x = 0$: $f(0) = (0 - 1)(0 - 3)(0 + 2) = (-1) \cdot (-3) \cdot 2 = 6 > 0$ (знак «$+$»); * для интервала $(-\infty; -2)$ возьмем $x = -3$: $f(-3) = (-3 - 1)(-3 - 3)(-3 + 2) = (-4) \cdot (-6) \cdot (-1) = -24 < 0$ (знак «$-$»). Знаки выражения на промежутках: $$ \underset{-\infty}{\vphantom{l}} \quad \stackrel{-}{\longleftarrow} \quad -2 \quad \stackrel{+}{\longrightarrow} \quad 1 \quad \stackrel{-}{\longrightarrow} \quad 3 \quad \stackrel{+}{\longrightarrow} \quad \underset{+\infty}{\vphantom{l}} $$ Так как знак неравенства $>$, выбираем интервалы со знаком «$+$»: $(-2; 1)$ и $(3; +\infty)$. Ответ: $x \in (-2; 1) \cup (3; +\infty)$