ГДЗ по алгебре 10 класс Шабунин дидактические материалы (Алимов) Базовый и углубленный уровень повторение курса алгебры 7-9 классов / решение квадратных неравенств / вариант 2 - 8

Рассмотрим квадратичную функцию: $$ f(x) = x^2 + 4x + q $$ Графиком этой функции является парабола, ветви которой направлены вверх, так как старший коэффициент $a = 1 > 0$. Найдем дискриминант квадратного трехчлена $x^2 + 4x + q$: $$ D = b^2 - 4ac = 4^2 - 4 \cdot 1 \cdot q = 16 - 4q = 4(4 - q) $$ По условию задано, что $q > 4$. Тогда: $$ 4 - q < 0 \implies D = 4(4 - q) < 0 $$ Так как старший коэффициент $a > 0$, а дискриминант $D < 0$, квадратный трехчлен не имеет действительных корней, и график функции $f(x) = x^2 + 4x + q$ целиком расположен выше оси абсцисс ($Ox$). Это означает, что при любом значении $x$ выполняется неравенство: $$ x^2 + 4x + q > 0 $$ *(Замечание: к этому же выводу можно прийти, выделив полный квадрат: $x^2 + 4x + q = (x + 2)^2 + (q - 4)$. Так как $(x + 2)^2 \ge 0$ при всех $x$, а при $q > 4$ разность $q - 4 > 0$, то сумма $(x + 2)^2 + (q - 4) > 0$ при любых $x \in \mathbb{R}$.)* Таким образом, при $q > 4$ решениями неравенства $x^2 + 4x + q > 0$ действительно являются все значения $x$ ($x \in \mathbb{R}$), что и требовалось показать.